Расчет наиболее вероятного радиуса электрона атома водорода в основном состоянии

Question

Расчет наиболее вероятного радиуса электрона атома водорода в основном состоянии

Асы

По этой ссылке описан метод определения наиболее вероятного радиуса электрона для атома водорода в основном состоянии.

В нем говорится, что:

Радиальная плотность вероятности для основного состояния водорода получается путем умножения квадрата волновой функции на элемент объема сферической оболочки.

Когда я решил сам решить эту задачу, я умножил квадрат заданной волновой функции на объем сферы, что дало мне неправильный ответ, поскольку я знаю, что это должен быть боровский радиус.

Когда я думал об этой задаче, мне казалось разумным умножать ее на объем сферы, а не на площадь поверхности сферы (мое внутреннее чутье). Ссылка на самом деле не объясняет мне , почему она использует площадь поверхности, а не объем сферы, и мне нужна помощь в том, чтобы понять, почему используется площадь поверхности, и дает правильный ответ и объем сферы. не.

Ответы (2)

Расчет наиболее вероятного радиуса электрона атома водорода в основном состоянии

Кевин Костлан · Answer 1

Примечание. Ответ ChocoPuce такой же, как у меня, но более математический.

У вас есть (сферически-симметричное) распределение плотности вероятности $\rho$ в пространстве (которое мы получаем из квадрата амплитуды). «Радиальная плотность вероятности» - это примерно вероятность того, что электрон находится на заданном радиусе, скажем $r = 0.1\mathrm{nm}$ ? Другими словами, какая часть этого распределения находится в $0.1\mathrm{nm}$ оболочка? точно не будем $0.1\mathrm{nm}$ , значит берем тонкую скорлупу: сколько между $0.1$ и $0.1+ε\mathrm{nm}$ ? Количество $=$ (средняя вероятная плотность в скорлупе)*(объем скорлупы). Так как скорлупа такая тонкая( $\varepsilon$ очень мал), плотность будет почти постоянной, а объем оболочки определяется выражением $\mathrm{area}\times\mathrm{thickness} = 4\pi*(0.1nm^2)*\varepsilon nm$ .

Таким образом, вероятность $4\pi\rho(r)r^2\varepsilon$ , где $\rho$ зависит только от $r$ так как он сферически симметричен. Но $\varepsilon$ — это произвольная «малая» толщина, которую мы определили, и лучше всего делить на $\varepsilon$ чтобы получить вероятность на единицу радиуса , которая называется (радиальной) плотностью вероятности $4\pi\rho(r)r^2$ . Наиболее вероятный радиус (отличный от среднего радиуса) максимизирует эту функцию.

Итак, я понимаю кое-что из того, что вы оба говорите, что плотность вероятности * объем, заключенный в две сферы, позволяет мне получить ответ. Но мне все еще не понятно, что используется объем между двумя сферами (сферическая оболочка), а не объем сферы от центра до некоторого произвольного расстояния r. Я могу не забыть сделать это в будущем, но если распределение сферически симметрично, почему бы не использовать элемент объема сферы вместо сферической оболочки?
Мы используем площадь, потому что нам нужна вероятность того, что r ровно 0,1 нм (технически плотность вероятности), а не вероятность того, что r меньше 0,1 нм.

ChocoPuce · Answer 2

В звене используется элемент сферической оболочки , который $4\pi r^2 \mathrm{d}r$ и имеет размерность объема ( $r^2$ это поверхность и $\mathrm{d}r$ является длиной.

Волновая функция основного состояния сферическая, в противном случае расчет должен был бы выполняться с использованием сферического элемента объема, такого как $r^2\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi$ . В расчетах не используется элемент поверхности. Чтобы увидеть, как элемент объема сферической оболочки связан со сферической симметрией, вы можете увидеть, что:

\int_{0}^{р} г р \int_{0}^{π} г θ \int_{0}^{2 π} г ф р^{2} "=" 4 π \int_{0}^{р} р^{2} г р

$\int_0^R \mathrm{d}r \int_0^{\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\varphi r^2 = 4 \pi \int_0^R r^2 \mathrm{d}r$

Элемент объема сферической оболочки уже содержит интегрирование по углам.

Чтобы выполнить эти вычисления, нужно умножить волновую функцию на элемент объема, а не на общий объем сферы. Определение волновой функции гласит, что это функция $\psi(r,t)$ такой как $|\psi(r,t)|^2 \mathrm{d}V$ вероятность найти частицу в элементе объема $\mathrm{d}V$ вокруг точки, обозначенной $r$ (в сферических координатах на этом примере). Умножение волновой функции на объем (чтобы получить амплитуду вероятности) имеет смысл только в том случае, если объем небольшой.

Спасибо, но я все еще в замешательстве. У меня есть следующая формула $P(r)=\int^{2\pi}_0 \int^{\pi}_0|\psi(r)|^2r^2\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi=|\psi(r)|^2 4\pi r^2$ . Я думал, что это вероятность найти электрон на радиусе r, а также на площади поверхности сферы. Затем я могу перейти к поиску максимума путем вычисления $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=0$ . Если я приму, что это объем элемента сферической оболочки (что, я думаю, я понял сейчас), я все равно не пойму, почему используется элемент сферической оболочки, а не элемент объема самой сферы?

Расчет наиболее вероятного радиуса электрона атома водорода в основном состоянии

Асы

Ответы (2)

Кевин Костлан

Асы

Кевин Костлан

ChocoPuce

Асы

Чем отличается модель атома Бора от модели Шредингера?

Квантовая модель атома

Существует ли только радиальное движение в основном состоянии Водорода?

Решение волнового уравнения для одноэлектронного атома

Как мы определяем, имеет ли электронная орбиталь ненулевую или нулевую вероятность лежать внутри ядра атома водорода?

Вероятность нахождения электрона в HH\rm H-атоме

Нулевая вероятность найти электрон в ядре

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Можно ли решить уравнение Шредингера для дейтерия?

Вычисление термина Дарвина для водорода