Вероятность нахождения электрона в HH\rm H-атоме

Question

Вероятность нахождения электрона в HH\rm H-атоме

71GA

В книге Артур Бейзер - Концепции современной физики [страница 213] автор разделяет переменные в полярном уравнении Шредингера, предполагая:

ψ_{н л м} "=" р (р) Φ (ф) Θ (θ)

$\psi_{nlm}=R(r)\Phi(\phi)\Theta(\theta)$

затем есть утверждение, что дифференциал пространства в полярной системе координат равен:

д В "=" (д р) \cdot (д θ р) \cdot (р грех θ д ф)

$dV=(dr)\cdot (d\theta r)\cdot (r\sin\theta d\phi)$

Я это понимаю, но на следующей странице есть утверждение:

Как $\Phi$ и $\Theta$ нормированные функции, действительная вероятность $P(r)dr$ нахождения электрона в атоме водорода где-то в сферической оболочке между $r$ и $r+dr$ из ядра:
$п (р) д р "=" р^{2} | р (р) |^{2} д р \int_{0}^{π} | Θ (θ) |^{2} грех θ д θ \int_{0}^{2 π} | Φ |^{2} д ф "=" р^{2} | р (р) |^{2} д р .$ $P(r)dr=r^2|R(r)|^2dr\,\int\limits_{0}^{\pi}|\Theta(\theta)|^2\sin\theta d\theta \, \int\limits_{0}^{2\pi}|\Phi|^2 d\phi=r^2|R(r)|^2dr.$

В этом уравнении я могу распознать дифференциал объема, описанный выше, и волновую функцию $\psi_{nlm}=R(r)\Phi(\phi)\Theta(\theta)$ . Я также знаю, что нормализация угловых функций по углам возвращает 1, но я не понимаю, почему нет интегрирования радиальной части... Кто-нибудь может немного объяснить?

Ответы (2)

Вероятность нахождения электрона в HH\rm H-атоме

Мостафа · Answer 1

Мостафа

Радиальная часть не интегрирована, потому что, как вы сами сказали, нам нужна вероятность найти электрон где-то в сферической оболочке между $r$ и $r+dr$ от ядра. (в дифференциальной оболочке между $r$ и $r+dr$ , и нет необходимости интегрировать более $r$ .)

71GA

Большое спасибо. Так что, если мы довольствуемся долей вероятности, нет необходимости интегрировать :) Что меня смутило, так это ощущение, что если мы хотим интегрировать уравнение, мы должны сделать это с обеих сторон, а не только с одной стороны... Это мне странно, что мы интегрируем только часть уравнения.

71GA

У меня есть еще один вопрос по этому поводу. Почему мы использовали дифференциал объема при поиске

P (r) d r

$P(r)dr$

71GA

Неважно, я думаю, что понимаю :)

Мостафа

Если вы ищете

P (r) d r

$P(r)dr$ ты должен найти

P (r)

$P(r)$ сначала (от

P (r, θ, ϕ)

$P(r,\theta,\phi)$ ).

71GA

Как мне это сделать?

Мостафа

Интегрировать более

θ

$\theta$ и

ϕ

$\phi$ , как вы сделали в вопросе.

71GA

Я знаю, хочу ли я получить полную вероятность, которую мне нужно рассчитать:

п "=" \int_{В} | р (р) |^{2} | Φ (ф) |^{2} | Θ (θ) |^{2} д В "=" \int_{В} | р (р) |^{2} | Φ (ф) |^{2} | Θ (θ) |^{2} р^{2} д р д θ грех θ д ф "=" "=" \int_{0}^{\infty} р^{2} | р (р) |^{2} д р \int_{0}^{π} | Θ (θ) |^{2} грех θ д θ \int_{0}^{2 π} д ф

$P=\int\limits_{V}|R(r)|^2|\Phi(\phi)|^2|\Theta(\theta)|^2dV = \int\limits_{V}|R(r)|^2|\Phi(\phi)|^2|\Theta(\theta)|^2\,\,r^2dr\, d\theta \sin\theta d\phi=\\ =\int\limits_{0}^{\infty}r^2|R(r)|^2dr \int\limits_{0}^{\pi}|\Theta(\theta)|^2 \sin\theta d\theta \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi$ Надеюсь, я правильно написал, и я думаю, что этот полный интеграл должен быть равен 1. Но мне почему-то все еще не ясно, как получить

P (r) d r

$P(r)dr$ ... Как я могу интерпретировать

d r

$dr$ после

P (r)

$P(r)$ . О чем вы думаете, когда видите нечто подобное?

71GA

Так что это полная вероятность... Что, если бы я искал

P d θ

$P d\theta$ ? Мне просто нужно удалить

\int_{0}^{π}

$\int\limits_{0}^{\pi}$ ?

пфнюзель · Answer 2

$P(r)\,\text dr$ дает вам только вероятность в бесконечно малой сферической оболочке вокруг центра. Интеграция, которую вы ожидаете, выполняется, когда вы хотите узнать вероятность в небесконечно малой оболочке вокруг центра.

Например, вы хотели бы знать, какова вероятность найти электрон между $r=1$ и $r=2$ (в любых координатах) вы бы интегрировали

п (1 < р < 2) "=" \int_{1}^{2} п (р) д р

$P(1<r<2) = \int_1^2 P(r)\,\text dr$ .

Вероятность нахождения электрона в HH\rm H-атоме

71GA

Ответы (2)

Мостафа

71GA

71GA

71GA

Мостафа

71GA

Мостафа

71GA

71GA

пфнюзель

Есть ли какой-нибудь оператор за вероятностью в квантовой механике?

Нормализация волновой функции означает...?

Почему |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 плотность вероятности?

Имеет ли вообще какое-либо значение |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2?

Что происходит на бесконечно длинном потенциальном шаге, когда E

Почему ненормируемые решения не могут представлять частицы?

Расчет наиболее вероятного радиуса электрона атома водорода в основном состоянии

Почему квадрат величины волновой функции дает нам плотность вероятности? [дубликат]

Как понять волновую функцию в квантовой механике в математике

Что такое волновая функция простым языком?