Расчет проводимости по функциям Грина

Я могу попытаться обрисовать здесь общую идею, но мой вывод может быть не очень точным (пожалуйста, обратитесь к вашим книгам, чтобы проверить коэффициенты и правила знаков).

Итак, я предполагаю, что вопрос в том, что для свободной фермионной системы, описанной следующим действием

$$S=-\sum_k\psi_k^\dagger G^{-1}(k)\psi_k, ...(1)$$ где $G(k)=-\langle\psi_k\psi_k^\dagger\rangle$- функция Грина при частоте импульса $k=(i\omega,\vec{k})$, что такое электропроводность постоянного тока?

1. Начнем с определения проводимости$j_\mu=\sigma_{\mu\nu} E_{\nu}$(где$j_\mu$является текущим и$E_\nu$электрическое поле). Рассмотрим линейный (дифференциальный) отклик $$\sigma_{\mu\nu}= \frac{\delta j_\mu}{\delta E_\nu}....(2)$$
2. Ввести калибровочный потенциал$A_\mu$. По определению, ток является источником калибровочного потенциала, т.е.$j_\mu = \delta S/\delta A_\mu$, а электрическое поле есть сопряженный импульс калибровочного потенциала, что означает$E_\nu=\partial_t A_\nu$по уравнению движения. Подставьте выражение в уравнение (2) для$\sigma$ $$\sigma_{\mu\nu} = \frac{\delta}{\delta \partial_t A_\nu}\frac{\delta S}{\delta A_\mu}=-i\delta_{A_0}\delta_{A_\nu}\delta_{A_\mu}S....(3)$$ Потому что$i\partial_t$означает частоту$i\omega$. Для проводимости по постоянному току мы должны отправить частоту$i\omega\to 0$, что означает, что мы действительно различаемся по отношению к$i\omega$. Но потому что$i\omega$всегда появляется с химическим потенциалом$A_0$в виде$(i\omega+A_0)$в действии, так что это будет эквивалентно простому изменению относительно$A_0$. Вот как мы можем заменить$1/\partial_t$к$-i\delta_{A_0}$(для этой замены существует более строгий вывод, но давайте пока возьмем этот простой аргумент).
3. Вам может быть интересно, как калибровочный потенциал$A_\mu$вступил в действие$S$(обратите внимание, что исходное фермионное действие даже не содержит поле$A_\mu$). Это делается с помощью процедуры минимальной связи, которая просто заменяет все$k$к$k+A$. Таким образом, действие в уравнении (1) на самом деле$S=-\sum_k\psi_k^\dagger G^{-1}(k+A)\psi_k$. Затем идея состоит в том, чтобы интегрировать поле Фермиона.$\psi$, и получим эффективное действие для калибровочного поля$S[A]$, то можно рассчитать проводимость по уравнению. (3). Но все это можно сделать проще, заметив, что$k$всегда появляется с$A$, так$\delta_A=\delta_k$, и, следовательно, уравнение (3) становится $$\sigma_{\mu\nu}=-i\delta_{k_0}\delta_{k_\nu}\delta_{k_\mu}S....(4)$$
4. Чтобы вычислить изменение импульс-частота, мы должны сначала проинтегрировать фермионное поле$\psi$: $$S\xrightarrow{\int\mathcal{D}[\psi]}S=-\sum_k\text{Tr}\ln(-G^{-1}(k))....(5)$$ Используя правило дифференцирования$\delta G = G (\delta G^{-1}) G$что следует из определения$G G^{-1}\equiv 1$(и варьируя обе стороны), нетрудно показать из уравнений. (4) и (5) что $$\sigma_{\mu\nu}=-i\sum_k \text{Tr} G(k)\gamma_0 G(k)\gamma_\nu G(k)\gamma_\mu, ...(6)$$ где$\gamma$матрицы определяются как $$\gamma_\mu=-\partial_{k_\mu}G^{-1}(k)....(7)$$

Хорошо. уравнение (6) — это уже формула Кубо, записанная в терминах функции Грина. Вы можете просто подключить функцию Грина и выполнить суммирование импульс-частота, чтобы получить электрическую проводимость.

ПРИМЕР:

Чтобы продемонстрировать, как это работает, позвольте мне представить простой пример. Рассмотрим холловскую проводимость двухзонной системы.

$$G(k)=(i\omega\sigma_0-k_1\sigma_1-k_2\sigma_2-m\sigma_3)^{-1}=\frac{i\omega\sigma_0+k_1\sigma_1+k_2\sigma_2+m\sigma_3}{(i\omega)^2-E^2},$$ с $E=\sqrt{k_1^2+k_2^2+m^2}$. Из уравнения (7) $\gamma_0=-\sigma_0$, $\gamma_1=\sigma_1$, $\gamma_2=\sigma_2$. Затем подключив к уравнению. (6). $$\sigma_{\mu\nu}=\sum_{k}\frac{2m}{((i\omega)^2-E^2)^2}=\sum_{\vec{k}}\frac{m}{2E^3}=\frac{m}{2|m|},$$ это то, что мы ожидаем для одного конуса Дирака.