В статическом пространстве-времени внешняя кривизна гиперповерхности t=constantt=constantt=constant равна нулю.

Ссылка: Падманабхан, Гравитация, Кембридж, стр.$531-534$

В формализме ADM мы можем написать:

$ds^2=g_{mn}dx^mdx^n= -N^2dt^2+h_{\alpha\beta}(dx^\alpha+N^\alpha dt)(dx^\beta+N^\beta dt)$

$N$называется функцией лапса, а$N^\alpha$называются функциями сдвига. Здесь латинские буквы для$4$-метрики, а греческие буквы для индуцированных$3$- метрики.

Мы можем написать индуцированный$3-$показатели$h_{\alpha\beta}$, в четырехмерной записи с$h_{mn} = g_{mn}+n_mn_n$, где$n (n_o=-N, n_\alpha=0)$нормаль к гиперповерхностям$t$= Постоянная. Это дает$h_{oo}= N^\gamma N_\gamma$,$h_{0\alpha}= N_\alpha$,$h_{\alpha\beta} = g_{\alpha\beta}$

Внешняя кривизна$K_{mn}= -h^a_m\nabla_an_n = -(\nabla_mn_n+n^an_m\nabla_an_n)$, можно показать, что эта кривизна симметрична в$m,n$. Для пространственных компонентов внешней кривизны можно получить с некоторыми вычислениями:

$K_{\alpha\beta}= -\nabla_\beta n_\alpha=\frac{1}{2N} (D_\beta N_\alpha + D_\alpha N_\beta-\partial_0 h_{\alpha\beta})$

где$D_mV_n= h^a_mh^b_n \nabla_a V_b$является пространственной ковариантной производной вектора$X$ортогональный к$n$($X$касается гиперповерхности$t$= Постоянная)

В случае статического пространства-времени имеем$h_{\alpha\beta} = h_{\alpha\beta} (x^\gamma)$, и$N^\alpha=0$, так что у нас есть$K_{\alpha\beta}=0$. Компоненты$K_{oj}=0$слишком.

Посмотрите на уравнения ADM. Примените к ним условие статичности.

Единица нормали к 3-поверхностям пропорциональна полю Киллинга. Коэффициент является нормой поля Убийства. Вы можете вычислить производную, используя уравнения Киллинга пару раз, чтобы получить результат.