Вывод формулы сложения релятивистских скоростей

Я знаком с несколькими способами вывода релятивистской формулы сложения скоростей. Однако меня интересует следующее доказательство, взяв производную В Икс ′ "=" г Икс ′ г т ′ .

Мой учебник делает следующее;

Икс ′ "=" γ ( Икс − β с т ) г т г т ′ "=" γ + β γ с В Икс ′

Итак, мы получаем:

г Икс ′ г т ′ "=" г г т ( γ ( Икс − β с т ) ) г т г т ′ "=" г г т ( γ ( Икс − β с т ) ) ( γ + β γ с В Икс ′ ) .

И тогда они просто говорят, что мы получаем В Икс ′ "=" В Икс − β с 1 − β с В Икс . Я не понимаю этот последний шаг. Я пробовал несколько вещей, таких как запись γ или упрощая вещи... но я не получаю их результата. Может ли кто-нибудь помочь мне? Заранее большое спасибо.

Концепция, которую вы ищете, - это быстрота, en.wikipedia.org/wiki/Rapidity . Это описывает быстрое изменение скоростей через углы в (для нас невообразимом) 4-мерном пространстве. С его помощью вы можете вывести формулу сложения (что НЕПРАВИЛЬНО! кстати).
Что такое расширение Лоренца? γ 2 "=" 1 ( 1 − В Икс 2 / с 2 )
Его 1 1 − β 2 с 2
В полученном уравнении после взятия производной по т , вы пытались решить для В Икс ′ который появляется с обеих сторон?
Я пытался точно, но у меня в знаменателе такая огромная каша, из которой я ничего не могу вынести. Есть ли умный способ решить это?
Подсказки: ваш фактор Лоренца неверен; с вашей нотацией, это должно быть 1 / 1 − β 2 (выведено из вашего Икс ′ "=" γ ( Икс − β с т ) , следовательно в "=" β с и в 2 / с 2 "=" β 2 ). Затем используйте 1 + γ 2 β 2 "=" γ 2 в шагах, которые я упомянул в своем предыдущем комментарии, и все готово.

Ответы (2)

Это просто вопрос правильного выполнения алгебры. Мы можем убрать фактор γ от обоих множителей в выражении:

В Икс ′ "=" г г т ( γ ( Икс − β с т ) ) ( γ + β γ с В Икс ′ )

потому что он постоянен при дифференцировании относительно т . Это дает:

В Икс ′ "=" 1 1 − β 2 г г т ( Икс − β с т ) ( 1 + β с В Икс ′ )

Производная может быть оценена:

В Икс ′ "=" 1 1 − β 2 ( В Икс − β с ) ( 1 + β с В Икс ′ )

Все, что нам нужно сделать, это решить это уравнение для В Икс ′ . При работе с большими уравнениями нужно быть осторожным, чтобы не допустить ошибок. Лучший способ — сосредоточиться на соответствующих частях уравнения, вместо того, чтобы пытаться сделать все сразу. Итак, если мы хотим собрать все В Икс ′ условиях, то просто сконцентрируйтесь на том, чтобы делать именно это. Слева В Икс ′ присутствует с коэффициентом 1 , в правой части он имеет коэффициент:

А "=" 1 1 − β 2 ( В Икс − β с ) β с

Итак, если мы приведем все В Икс ′ слева, он получит коэффициент 1 − А . Оставшийся член в правой части равен:

Б "=" 1 1 − β 2 ( В Икс − β с )

Итак, давайте посмотрим, сможем ли мы упростить 1 − А :

1 − А "=" 1 1 − β 2 ( 1 − β 2 − В Икс β с + β 2 ) "=" 1 1 − β 2 ( 1 − В Икс β с )

Разделив обе части на 1 − А дает:

В Икс ′ "=" В Икс − β с 1 − β с В Икс

Ооо, теперь я вижу свою ошибку! я не повернулся 1 в 1 − β 2 1 − β 2 , чтобы исключить γ 2 - что приводит к решению! Спасибо вам так, так, так много!

Похоже, ваш учебник идет по сложному пути. Есть более короткий путь, который я предпочитаю:

г Икс ′ г т ′ "=" г ( γ ( Икс − в т ) ) г ( γ ( т − в Икс / с 2 ) ) "=" г Икс − в г т г т − в г Икс / с 2 "=" г Икс / г т − в 1 − в ( г Икс / г т ) / с 2
где в "=" β с .

РЕДАКТИРОВАТЬ: ваш метод учебника тоже работает. Но ваш фактор Лоренца, который вы упомянули в своем комментарии, неверен; с вашей нотацией, это должно быть γ "=" 1 / 1 − β 2 (выведено из вашего Икс ′ "=" γ ( Икс − β с т ) , следовательно в "=" β с и в 2 / с 2 "=" β 2 ). Затем используйте 1 + γ 2 β 2 "=" γ 2 в шагах, которые я упомянул в своем предыдущем комментарии (вычислить производную относительно т и решить для В ′ Икс который появляется линейно с обеих сторон) и все готово.

Я уже говорил, что знаком с несколькими доказательствами, и меня особенно интересует то, которое дано в моем учебнике. Мне не нравится это доказательство, потому что это паршивая математика, потому что г г т ′ является оператором - или как бы вы его ни называли - а не дробью.
+1: это работает для меня.
Вывод формулы сложения релятивистских скоростей
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v