Возможно, этот вопрос следует задать математическому сообществу, но я думаю, что из-за конкретного примера, который я приведу, я мог бы лучше понять свои сомнения здесь.
Итак, почему мы можем получить два разных результата (математически) в зависимости от того, решим ли мы обойти или очертить полюс при вычислении интеграла? Наиболее очевидным примером является рецепт Фейнмана по КТП и связанным с ним расчетам.
Я знаю, что большинства интегралов, для которых полезны методы контурного интегрирования, не существует, и в этих случаях то, что мы делаем, — это «просто» способ придать им количественное значение (назовем это главным значением Коши, если хотите). однако до сих пор не могу понять интуитивно или формально, что вызывает разницу в значениях, рассчитанных из разных вариантов контура.
Это просто следствие теоремы Коши-Гурса и теоремы об остатках : первая говорит вам, что интеграл инвариантен относительно гомотопии контура, если только область между контуром и его гомотопическим образом не включает новую особенность; второй говорит вам, что интеграл изменяется на умноженный на остаток любого нового полюса, который включается в гомотопию, если контур не содержит точек ветвления или разрезов поперечной ветви.
Промежуточный случай, который приводит к главному значению Коши, - это когда контур проходит точно через полюс; это поведение можно понять, «вдавливая» контур внутрь полукруглой вмятиной радиуса избежать полюса, а затем оценить предел явного вычисления контура на этой полуокружности как .
Что касается физического смысла всех этих вариаций, то для определения этого значения необходимо в каждом конкретном случае подробно рассмотреть физические допущения, лежащие в основе операций.
Qмеханик
ГалуаФан
Qмеханик