Разница между чистыми квантовыми состояниями и когерентными квантовыми состояниями

Путаница возникает из-за того, что слово «когерентный» эволюционировало, чтобы иметь разные значения в разных контекстах, где оно не является полностью определенным.

Возвращаясь к эксперименту с двумя щелями, видно, что интенсивность сигнала в конкретной точке

Это противоречит некогерентному свету , где интенсивность в точке представляет собой просто сумму отдельных интенсивностей различных источников:$I_{tot}=I_1+I_2$. Вот что произойдет, если вы посветите на стену двумя фонариками: интенсивность света — это просто сумма интенсивности двух фонариков: нет темных и светлых интерференционных полос.

Теперь, в линейной комбинации волновых функций, скажем

В смешанном состоянии (которое не может быть описано волновой функцией) плотность вероятности представляет собой сумму индивидуальных плотностей вероятности, т.е. что-то вроде$\vert\psi(x)\vert^2 =\vert\alpha \psi_1(x)\vert^2+\vert \beta\psi_2(x)\vert^2$без интерференционного члена. Обратите внимание, что$\psi_1(x)$сама может быть суммой, т.е.$\psi_1(x)=a \phi(x)+b \chi(x)$так что$\vert\psi_1(x)\vert^2 = \vert a\phi(x)+b\chi(x)\vert^2$могут иметь перекрестные термины, но не было бы перекрестных терминов между частями в$\psi_1(x)$и$\psi_2(x)$.

Теперь о когерентных состояниях. Глаубер исследовал вопрос когерентности в квантовой оптике, т. е. свойства когерентности квантованного электромагнитного поля . Инструментом выбора здесь является корреляционная функция, и Глаубер смог найти линейную комбинацию состояний гармонического осциллятора, которая была «когерентной во всех порядках» в смысле корреляционной функции. Эти состояния Глаубер естественно назвал «когерентными состояниями». Когерентные состояния — это чистые состояния, поэтому различные части могут интерферировать, и поэтому они когерентны в том смысле, что в плотности вероятности появляются перекрестные члены. Однако, хотя все чистые состояния представляют собой когерентную суперпозицию базисных состояний, не все они «когерентны» в том смысле, что их корреляционные функции не удовлетворяют условию, сформулированному Глаубером.

Что еще хуже, Перемолов понял, что когерентные состояния Глаубера можно обобщить математически. Переломов заметил, что когерентные состояния Глаубера можно записать как

Можно показать, что когерентное состояние Глаубера$\vert\alpha\rangle$уравнения (4) оказывается собственным состоянием оператора уничтожения$a$, т.е.$a\vert\alpha\rangle=\alpha\vert\alpha\rangle$. Очевидно, этого не может произойти, когда гильбертово пространство имеет конечную размерность, поэтому когерентные состояния углового момента уравнения (5) не являются собственными состояниями ни$J_+$или$J_-$. Однако они имеют много общего со многими свойствами когерентных состояний Глаубера. Оба набора состояний имеют минимальную неопределенность (когда операторы углового момента определены правильно), и оба состояния производят определенные свойства факторизации при вычислении некоторых величин. Обобщенные когерентные состояния не ограничены угловым моментом, но были определены для множества случаев, либо настаивая на том, что они имеют минимальную неопределенность, либо они транслируются из некоторого выделенного состояния.

Резюме: чистые состояния — это когерентные суперпозиции базисных состояний. Смешанные состояния представляют собой некогерентные суперпозиции состояний. Глауберовские когерентные состояния (или когерентные состояния гармонического осциллятора) являются чистыми состояниями, но также обладают дополнительными свойствами, изложенными Глаубером в терминах корреляционных функций. Обобщенные когерентные состояния были введены Переломовым; это чистые состояния, которые разделяют некоторые свойства глауберовских когерентных состояний.

Отличный способ понять взаимосвязь между терминами — рассмотреть разницу между одним фотоном и пучком многих фотонов, исходящим из лазера. Единственный фотон, приготовленный одинаково каждый раз, является настолько чистым чистым состоянием, насколько это возможно. Лазер испускает фотоны одинаковой частоты и поляризации, так что это также звучит как чистое состояние. Но что отличается, когда вы начинаете думать, сколько их.

На выходе из лазера, конечно же, много-много фотонов. В$1\,mW$зеленый лазер, который у вас был бы (мощность/(Гц/длина волны))$2.7*10^{15}$фотонов в секунду в среднем . Здесь важно понять, что я не просто говорю о среднем , потому что значение является неточным. Я говорю в среднем, потому что ансамбль фотонов, выходящих из лазера, представляет собой когерентное состояние , которое определяется распределением Пуассона , которое просто говорит, что данный фотон с равной вероятностью прибудет в любое время (время прибытия является независимым и случайным). ). Когда вы рассматриваете множество фотонов, распределение Пуассона говорит вам, насколько вероятно, что в любом временном интервале появится, скажем, 1 фотон, 2 фотона, ... 100 фотонов и т. д.

Так как же вы можете получить один фотон из лазерного луча? Один из способов попробовать — открыть затвор на очень короткое время. Вы бы отрегулировали время, в течение которого затвор открыт, чтобы пропустить в среднем только один фотон. В большинстве случаев вы будете получать только один фотон. Но поскольку времена прихода фотонов независимы и случайны, иногда вы получаете ноль фотонов, а иногда — два фотона. Иногда вы можете даже получить 3, 4 или 5, ... но это становится все менее и менее вероятным.

Другой способ попытаться получить одиночный фотон из лазерного луча — поставить фильтры на пути луча, которые настолько затемняют луч, что в конце вы можете наблюдать фотоны как одиночные щелчки на чувствительном фотодиоде. Но вы не можете наблюдать за фотонами и при этом использовать их, так что вы не можете просто ждать, пока не увидите щелчок. Вы должны сделать то же самое, что и выше, где вы настраиваете, сколько фильтров вы используете, чтобы получить в среднем один фотон за определенный интервал времени. Но теперь вы снова застряли в состоянии, которое обычно имеет 1 фотон, но иногда имеет 0, а иногда 2,3,4,5 (с уменьшением вероятности).

Таким образом, когерентное состояние — это НЕ то же самое, что иметь доступ ко многим повторениям одиночных фотонов. Чтобы получить одиночные фотоны, вам понадобится машина другого типа, возможно, распад одного возбужденного атома, или, возможно, взять ваш лазер и подвергнуть его параметрическому преобразованию с понижением частоты, чтобы вы могли объявить генерацию одного фотона и знать, что вы иметь ровно 1 (а не 0 или 2,3,4,5...)

Итак, в этом различие между чистым состоянием и когерентным состоянием. Когерентное состояние — это чистое состояние типа с определенной статистикой для числа фотонов (или, как вы упомянули, для определенного уровня занятости в гармоническом осцилляторе).

Но какова связь между когерентным состоянием и когерентностью ?? Что примечательно, так это то, как лазер дал нам когерентное состояние. В случае лазера когерентность относится к тому факту, что мы можем измерить фазу электрического поля луча в какой-то точке, а затем достаточно хорошо предсказать, какая фаза будет измерена либо в отдаленной точке, либо в более позднее время. Чем дольше сохраняется это фазовое соотношение, тем выше когерентность. Фаза была бы вполне предсказуема, если бы все фотоны имели одинаковую частоту. В лазере это почти верно, а степень, в которой это неверно, выражается как «ширина линии» лазера. Для белого света частоты фотонов все разные, поэтому для луча нет предсказуемой фазовой зависимости, поэтому белый свет «некогерентен».

Теперь подумайте, как вы можете получить один фотон из луча белого света. Если это действительно, действительно некогерентно, то каждый фотон будет иметь разную частоту (они могут быть сколь угодно близкими, но также сколь угодно много возможных частот), так что я могу сделать фильтр, который пропускает только определенный очень специфический цвет света . Поскольку этот фильтр становится бесконечно узким (с точки зрения частот или цветов света, который он пропускает), мне придется ждать дольше, чтобы получить один фотон, но я могу сделать фильтр бесконечно узким и бесконечно долго ждать и с уверенностью получить один фотон. . С когерентным пучком этого сделать не удалось.

Вы можете спросить, а что, если бы вы использовали этот трюк с бесконечно узким фильтром на лазерном луче? Поскольку лазер имеет конечную ширину линии, это будет работать, но это также является мерой того факта, что лазерный луч не является совершенно когерентным. Если бы совокупность фотонов, испускаемых лазером, была совершенно когерентной, все они имели бы одинаковую частоту, а ширина линии была бы бесконечно узкой, и независимо от того, насколько узким вы сделаете фильтр, все равно все фотоны будут проходить через него.

Таким образом, именно свойство когерентности дает нам когерентное состояние , и наоборот.

Другой способ обсудить взаимосвязь между лазерным лучом и одиночным фотоном — рассмотреть, как выглядит «волновой пакет». Для когерентного луча это синусоидальная волна, которая продолжается вечно, и на самом деле ее амплитуда настолько велика, что это в основном классическая волна, в которой квантование отдельных фотонов не имеет никакого значения. По мере того как вы делаете лазерный импульс все короче, короче и короче, в конечном итоге вы получите один фотон, электрическое поле которого по-прежнему колеблется с той же частотой, но с очень короткой огибающей. Немного о преобразованиях Фурьеговорит нам, что более короткий импульс во времени должен иметь более широкий частотный спектр. Таким образом, отдельный фотон никак не может быть таким же, как когерентное состояние, потому что он по своей природе имеет некоторую ширину линии из-за конечного промежутка времени. Фотон — это «волновой пакет с минимальной неопределенностью», поэтому он имеет наименьший возможный разброс по частоте среди всех волн такой длительности, поэтому он может иметь некоторую «когерентность», но одиночный фотон (если мы знаем, что существует наверняка один и только один фотон). одно из них) не может быть «когерентным состоянием».

Снова повторю свой вывод, сделанный выше: именно свойство когерентности дает нам когерентное состояние , и наоборот.

Когерентные квантовые состояния — это особые типы чистых квантовых состояний. Этот термин coherentимеет смысл только тогда, когда существует фоковская алгебра лестничных операторов. Когерентные состояния будут собственным вектором (неэрмитова) оператора уничтожения

Согласованность имеет широкий спектр определений от более простых в других ответах до более сложных, основанных на теории ресурсов и информации о рыбаках. Грубо говоря, все они пытаются количественно оценить способность государства отображать интерференцию в различных свойствах. Эта способность зависит от того, что вносит изменения (ваш Гамильтон) и от того, как вы проводите измерения. Чистота и согласованность не должны пересекаться и, как правило, являются разными понятиями. В зависимости от вашего возбуждения определенное смешанное состояние может отображать больше помех, чем определенный чистый взгляд. Но самое чистое вмешательство всегда будет из чистого состояния.

Когерентное состояние — это специфическое чистое состояние, используемое для лазеров и наиболее когерентное для обычных интерферометров.