Связь между алгеброй Дирака и группой Лоренца

Это довольно раздражает, что P&S просто дает вам

$$S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$$ из воздуха, вот способ вывести его, аналогичный выводу Бьоркена-Дрелла (который исходит из уравнения Дирака), но напрямую из алгебры Клиффорда, предполагая, что произведения гамма-матриц образуют основу. Учитывая алгебру Клиффорда$\gamma^{\mu}$удовлетворяет $$\begin{align} \{ \gamma^{\mu} , \gamma^{\mu} \} = 2 \eta^{\mu \nu} I \end{align}$$ заметим, что для обратимого преобразования$S$у нас есть $$\begin{align} 2 \eta^{\mu \nu} I &= 2 \eta^{\mu \nu} S^{-1} S \\ &= S^{-1}(2 \eta^{\mu \nu}) S \\ &= S^{-1}\{ \gamma^{\mu} , \gamma^{\mu} \} S \\ &= \{ S^{-1} \gamma^{\mu} S, S^{-1}\gamma^{\mu} S \} \\ &= \{ \gamma'^{\mu} , \gamma'^{\mu} \} \end{align}$$ показывая нам, что алгебра матриц Клиффорда $$\gamma'^{\mu} = S^{-1} \gamma^{\mu} S$$ также удовлетворяет алгебре Клиффорда, поэтому любой набор матриц, удовлетворяющих алгебре Клиффорда, может быть получен из заданного набора$\gamma^{\mu}$используя неособое преобразование$S$. Поскольку антикоммутационные соотношения включают метрику$\eta_{\mu \nu}$, и мы знаем, что метрика остается инвариантной относительно преобразований Лоренца $$\eta^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \eta^{\rho \sigma}$$ это сразу подразумевает $$\begin{align} 2 \eta^{\mu \nu} I &= \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} 2 \eta^{\rho \sigma} I \\ &= \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \{ \gamma^{\rho} , \gamma^{\sigma} \} \\ &= \{ \Lambda^{\mu} \, _{\rho} \gamma^{\rho} , \Lambda^{\nu} \, _{\sigma} \gamma^{\sigma} \} \\ &= \{ \gamma'^{\mu} , \gamma'^{\mu} \} \end{align}$$ что показывает, что преобразование Лоренца гамма-матрицы также удовлетворяет алгебре Клиффорда и, следовательно, само является гамма-матрицей и, следовательно, может быть выражено через некоторое неособое преобразование$S$ $$\begin{align} \gamma'^{\mu} &= \Lambda^{\mu} \, _{\nu} \gamma^{\nu} \\ &= S^{-1} \gamma^{\mu} S \end{align}$$ где$S$предстоит определить. Поскольку операторы$S$представлять выполнение преобразования Лоренца на$\gamma^{\mu}$, а преобразования Лоренца на полях расширяются как$I - \frac{i}{2}\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}$, мы расширяем$\Lambda$и$S$как $$\begin{align} \Lambda^{\mu} \, _{\nu} &= \delta ^{\mu} \, _{\nu} + \omega^{\mu} \, _{\nu} \\ S &= I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu} \end{align}$$ где$\Sigma^{\mu \nu}$должны быть антисимметричными и строиться на основе гамма-матриц, следовательно, из $$\begin{align} \gamma'^a &= \Lambda^a \, _{\mu} \gamma^{\mu} \\ &= (\delta^a \, _{\mu} + \omega^a \, _{\mu})\gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega^a \, _{\mu} \gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega_{b \mu} \eta^{a b} \gamma^{\mu} \\ &= \gamma^a + \omega_{b \mu} \eta^{a [b} \gamma^{\mu]} \\ &= \gamma^a + \frac{1}{2} \omega_{b \mu} (\eta^{a b} \gamma^{\mu} - \eta^{a \mu} \gamma^b) \\ &= \gamma^a + \frac{1}{2} \omega_{\nu} (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) \\ &= S^{-1} \gamma^a S \\ &= (I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu}) \gamma^a (I + \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} \Sigma^{\mu \nu}) \\ &= \gamma^a - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \end{align}$$ мы имеем отношение (которое можно интерпретировать как говорящее, что$\gamma^a$преобразуется как вектор при спинорных представлениях преобразований Лоренца, как, например, в примечаниях Тонга к QFT) $$\begin{align} i (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) = [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \end{align}$$ и мы знаем$\Sigma^{\mu \nu}$, так как он антисимметричен, должен включать произведение$\gamma$матриц (из-за 16-мерного базиса, состоящего из элементов алгебры Клиффорда), только две в левой части и из $$\begin{align} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} &= - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu} , \ \ \ \mu \neq \nu, \\ \gamma^{\mu} \gamma^{\mu} &= \gamma^{\nu} \gamma^{\mu} , \ \ \ \mu = \nu, \end{align}$$ мы ожидаем, что $$\begin{align} \Sigma^{\mu \nu} &= c [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}] \\ &= c (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) \\ &= 2 c ( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu}) \end{align}$$ для некоторых$c$который мы ограничиваем (векторным) отношением выше $$\begin{align} i (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}) &= [\gamma^a, \Sigma^{\mu \nu}] \\ &= c [\gamma^a, 2( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu})] \\ &= 2 c [\gamma^a, \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}] \\ &= 2 c ( \gamma^{\mu} [\gamma^a,\gamma^{\nu}] + [\gamma^a, \gamma^{\mu}] \gamma^{\nu}) \\ &= 2 c [ \gamma^{\mu} 2( \gamma^a \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu}) + 2( \gamma^a \gamma^{\mu} - \eta^{a \mu}) \gamma^{\nu}] \\ &= 4 c [ \gamma^{\mu} ( \gamma^a \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu}) + ( \gamma^{\mu} \gamma^{a} + 2 \eta^{a \mu} - \eta^{a \mu}) \gamma^{\nu}] \\ &= 4 c (\eta^{a \mu} \gamma^{\nu} - \eta^{a \nu} \gamma^{\mu}). \end{align}$$ Это дает результат$c = i/4$. Генератор преобразований Лоренца гамма-матриц есть $$\begin{align} \Sigma^{\mu \nu} &= \dfrac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}] \\ &= \dfrac{i}{2}(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} - \eta^{\mu \nu}) \ \ \text{i.e.} \\ S &= I - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (\frac{i}{4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]) \\ &= I + \dfrac{1}{8} \omega_{\mu \nu} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]. \end{align}$$ Используя тот факт, что гамма-матрицы преобразуются как вектор при спинорном представлении бесконечно малого преобразования Лоренца, $$\begin{align} [\Sigma^{\mu \nu}, \gamma^{\rho}] = i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho}) \end{align}$$ мы можем показать, что спинорное представление преобразования Лоренца удовлетворяет коммутационным соотношениям алгебры Лоренца, поскольку для$\rho \neq \sigma$ $$\begin{align} [\Sigma^{\mu \nu},\Sigma^{\rho \sigma}] &= \frac{i}{2}[\Sigma^{\mu \nu},\gamma^{\rho} \gamma^{\sigma}] \\ &= \frac{i}{2}([\Sigma^{\mu \nu},\gamma^{\rho} ] \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} [\Sigma^{\mu \nu}, \gamma^{\sigma}]) \\ &= \frac{i}{2}\{ i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho}) \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} i (\gamma^{\mu} \eta^{\nu \sigma} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \sigma}) \} \\ &= - \frac{1}{2}\{ \gamma^{\mu} \eta^{\nu \rho} \gamma^{\sigma} - \gamma^{\nu} \eta^{\mu \rho} \gamma^{\sigma} + \gamma^{\rho} \gamma^{\mu} \eta^{\nu \sigma} - \gamma^{\rho} \gamma^{\nu} \eta^{\mu \sigma} \} \\ &= \frac{i}{2}\{ \eta^{\nu \rho} (2 \Sigma^{\mu \sigma} + \eta^{\mu \sigma}) - \eta^{\mu \rho} (2 \Sigma^{\nu \sigma} - \eta^{\nu \sigma}) + (2 \Sigma^{\rho \mu} - \eta^{\rho \mu}) \eta^{\nu \sigma} - (2 \Sigma^{\rho \nu}) - \eta^{\rho \nu}) \eta^{\mu \sigma} \} \\ &= i ( \eta^{\nu \rho} \Sigma^{\mu \sigma} - \eta^{\mu \rho} \Sigma^{\nu \sigma} + \Sigma^{\rho \mu} \eta^{\nu \sigma} - \Sigma^{\rho \nu} \eta^{\mu \sigma} ). \end{align}$$ Этот метод обобщает$SO(3,1)$к$SO(N)$, см., например, Kaku QFT Sec. 2.6, и основной причиной для выполнения всего этого в первую очередь является стремление найти проективные представления , возникающие из-за неодносвязности этих ортогональных групп. Что касается вашего вопроса о произвольных показателях$g_{\mu \nu}$, этот метод применяется и возникает из-за неодносвязности специальных ортогональных групп, вы не можете обобщить на произвольные метрики, это проблема, которую можно обойти в супергравитации и теории суперструн с помощью Вейльбейна.

Использованная литература:

1. Бьоркен, Дж. Д. и Дрелл, С. Д., 1964. Релятивистская квантовая механика; Ч. 2.
2. Каку, М., 1993. Квантовая теория поля: современное введение. Оксфордский университет Нажимать; сек. 2.6.
3. Тонг, Заметки по квантовой теории поля http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html .
4. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/D18S.pdf
5. Делает$GL(N,\mathbb{R})$собственное спинорное представление? Какая группа является его покрывающей группой? (учебник Каку по QFT)

Я хочу знать, возьмем ли мы любую произвольную метрику$g_{\mu\nu}$на каком-то пространстве$V$, будут ли генераторы, определенные как$S^{\mu\nu}$порождают группу Ли, элементами которой являются преобразования на$V$которые сохраняют внутренний продукт, соответствующий метрике?

Да. Результат называется группой «Спин» . Хороший обзор содержится в этой статье .

В общем случае алгебры Клиффорда создаются из произвольного векторного пространства.$V$(над полем$\mathbb{F}$) и квадратичная норма$Q : V \to \mathbb{F}$, где$\mathbb{F}$обычно (конечно, физики) принимают либо$\mathbb{R}$или$\mathbb{C}$. Если у вас есть метрика, это несколько более сильное утверждение, чем просто квадратичная норма, поэтому вы, безусловно, можете использовать ее для построения алгебры Клиффорда, определив норму как$Q(v) = g_{\mu \nu} v^\mu v^\nu$. С другой стороны, если у вас есть норма, вы можете использовать ее для определения внутреннего произведения между любыми двумя векторами.$v$и$w$по поляризации :$g(v, w) = \frac{1}{2}[Q(v+w) - Q(v) - Q(w)]$. Конечно, это работает, только если вы можете разделить на$2$, что не относится ко всем полям. С другой стороны, я не могу припомнить, чтобы видел какое-либо полезное применение алгебры Клиффорда, использующее поле, отличное от$\mathbb{R}$или$\mathbb{C}$.

В случае пространства-времени векторное пространство — это просто множество$\gamma^\mu$векторы, которые не следует рассматривать как сложные матрицы, а скорее как обычные базисные векторы:$\hat{t}, \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$. Этот подход обычно называют геометрической алгеброй . Поле на самом деле следует считать$\mathbb{R}$(потому что сложная структура, которую мы обычно используем в квантовой механике, на самом деле автоматически проявляется в алгебре Клиффорда). То, что вы получите, называется алгеброй пространства-времени .

Эту же логику можно распространить на другие пространства любой размерности и сигнатуры (включая неопределенные и вырожденные сигнатуры). Любые два вектора в алгебре Клиффорда можно умножить друг на друга, и таким образом построить антикоммутативное произведение — результат называется бивектором. Множество всех бивекторов образует$\mathfrak{spin}$алгебра, где произведение — это не просто произведение Клиффорда, а его коммутатор. В более общем случае мы можем взять любое четное число векторов и взять их произведение. Обратимые элементы этой формы дают нам группу Spin, связанную с бивекторами посредством возведения в степень (так же, как группа Ли связана с алгеброй Ли). И они преобразуют векторы сопряжением, что, естественно, оставляет неизменным скалярный продукт. Так что это ответ на ваш вопрос.

У нас также есть что-то обратное предыдущему:

Каждая алгебра Ли может быть представлена ​​как бивекторная алгебра; следовательно, каждую группу Ли можно представить как спиновую группу.

Этот результат находится здесь . Хотя в целом они используют своего рода «удвоенную» алгебру Клиффорда, это не всегда необходимо. В этой статье дается хороший обзор этих проблем (как и статья о спин-группах, хотя и не так подробно).