Разница между полем и волновой функцией

Игнорируйте спин, поляризацию и даже вопросы Лоренца, поглотите все лишние константы и примите во внимание время и одно пространственное измерение.

• Одночастичная комплексная волновая функция$\psi(x,t)=\langle x|\psi \rangle$функция пространства-времени, служащая амплитудой плотности вероятности. Для квантового осциллятора в координатном пространстве он подчиняется подходящему уравнению Шредингера,$(i2\partial_t +\partial^2_x -x^2)\psi =0$. (Ну, в извращенном смысле это своего рода «классическое поле амплитуды вероятности», как вы предполагаете.)

• Настоящее классическое поле$\phi(x,t)$является пространственно-временной функцией. Как вы видите в текстах по классической механике, свободный представляет собой суперпозицию нормальных режимов бесконечности связанных осцилляторов на линии (решетке, поскольку их расстояние равно нулю). Однако здесь x представляет собой положение равновесия каждого осциллятора, а не смещение от равновесия (как это было для классического родителя вышеуказанного одиночного осциллятора). Уравнение Эйлера-Лагранжа, которому оно удовлетворяет, имеет вид$(\partial_t^2-\partial_x^2 + m^2)\phi=0$. Разделенные нормальные моды более очевидны в преобразовании Фурье,$\tilde{\phi}(k,t)=\int dx ~e^{-ikx} \phi(x)$, так$\tilde{\phi}(k,t)=e^{it\sqrt{k^2+m^2}} c_k + e^{-it\sqrt{k^2+m^2}} c^*_k$, для числовых коэффициентов c _k .

• Квантовое поле$\Phi(x,t)$является некоммутативным оператором , связанным с приведенным выше выражением, за исключением подходящих ( k -зависимых) нормализованных операторов создания и уничтожения$a_k^\dagger, a_k$заменяя вышеуказанные c-числа c _k и c _k* классического поля. ( x остается классическим параметром! ) Эти нормальные моды отделены друг от друга (для них струнный лагранжиан диагонализирован) и коммутируют между собой; они, очевидно, подчиняются тому же линейному уравнению, что и классическое поле, поскольку на него не влияют операторные коэффициенты: волновые операторы действуют на с-числовые параметры. То есть каждый нормальный режим$\tilde{\phi}_k$вышеприведенной струны было «сначала проквантовано» как классический осциллятор, но это организованное собрание бесконечного числа идентичных таких равносильно «второму квантованию» ; также см. ВП . Поскольку он упаковывает бесконечность осцилляторов (возбуждений, идентичных частиц), каждый вектор состояния конфигурации представляет собой конкретную совокупность операторов рождения, действующих на фоковскую пустоту, а переходные усилители представляют собой значения вакуумного среднего цепочек таких полей. В первом томе текста Бьоркена и Дрелла вы можете пройтись по решению динамических уравнений в виде волновых функций, а во втором — те же самые уравнения и решения в виде полей. Пока вы придерживаетесь правильной интерпретации и использования...

• Если бы от этого зависела ваша жизнь, вы могли бы сконструировать некоторый тип волновой функции из полевого оператора .$\langle x| \Phi (x',t)|0\rangle$, теперь почти локализованная функция c-числа, но необходима осторожность, чтобы избежать путаницы.