Получение частиц из полей: проблема нормализации или проблема локализации?

Кажется, есть что-то очень странное в отношениях между квантовой теорией поля и квантовой механикой. Меня это беспокоит; возможно, кто-то может помочь.

Я рассмотрю свободное поле Клейна-Гордона. В стандартных трактовках (например, Peskin & Schroeder и Schwartz) собственные состояния импульса одной частицы | к → ⟩ нормированы так, что

⟨ п → | к → ⟩ "=" 2 ю п → ( 2 π ) 3 дельта ( 3 ) ( п → − к → ) , 1 "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → | п → ⟩ ⟨ п → | .
Теперь, предполагая ⟨ Икс → ′ | Икс → ⟩ "=" дельта ( 3 ) ( Икс − Икс ′ ) как обычно, следует, что
⟨ Икс → | п → ⟩ "=" 2 ю п → е я п → ⋅ Икс → .
Теперь можно вычислить (здесь на картинке Шрёдингера; см. Шварц 2.76 или P&S 2.42), что
⟨ 0 | ф ( Икс → ) | п → ⟩ "=" е я п → ⋅ Икс → .
Это должно означать, что ф создает частицу, локализованную в положении Икс → . P&S немного осторожничает в деталях, но Шварц утверждает, что расчет подразумевает
ф ( Икс → ) | 0 ⟩ "=" | Икс → ⟩ .
Но это неверно, потому что ⟨ Икс → | п → ⟩ ≠ е я п → ⋅ Икс → с использованием соглашений о нормализации. Я полагаю, это может быть правдой с какой-то странной нормализацией | Икс → ⟩ , но я не вижу, что это может быть (по крайней мере, это не прописано в тексте).

Даже если это сработает, кажется крайне странным наличие относительной нормализации между одночастичными состояниями теории поля и состояниями одночастичной релятивистской квантовой механики. Нужно иметь возможность переделать переписку, чтобы нормализация сработала, но я не понимаю, как это сделать. (Обратите внимание, что нормализации можно легко согласовать в нерелятивистском пределе ю ≈ м , но это не главное. Даже если полностью релятивистская квантовая механика непоследовательна [как утверждают некоторые тексты без ссылки], по крайней мере поправки на возмущения для в ≪ 1 должны быть восстановлены из теории поля.)

[ Редактировать : кажется, что это выходит за рамки нормализации. Мы можем почувствовать, какое состояние ф ( Икс → ) | 0 ⟩ заключается в вычислении его волновой функции как функции Икс → ′ ,

⟨ Икс → ′ | ф ( Икс → ) | 0 ⟩ "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → е я п → ⋅ ( Икс → − Икс → ′ ) .
Эта волновая функция имеет пик (я думаю, расходящийся) при Икс → ′ "=" Икс → , так что в некотором смысле частица находится в центре Икс → , но, кажется, с большой натяжкой сказать, что это на Икс → (как в книгах). Я бы даже сказал, что это утверждение неверно, поскольку в квантовой механике утверждение о том, что частица находится в определенном положении, означает, что волновая функция является там дельта-функцией. Думаю, тот же язык используется в картине Гейзенберга, когда двухточечные функции называются амплитудами распространения частиц из одной точки пространства-времени в другую. Это также кажется ложным из-за общепринятого значения амплитуды как перекрытия между двумя локализованными состояниями. Слова мудрости будут оценены.]

Ну да, состояние φ(x)|0> — это не просто делокализованная плоская волна в x-представлении! Это волновой пакет с центром в точке x , что было бы очевидно, если бы вы явно написали его в суперпозиции P&S (2.41). Вы можете отредактировать/изменить свой вопрос. В извращенном виде это классические волны с квантовыми коэффициентами, здесь все |p> s находятся в своем теперь уже отдельном секторе суперотбора. р и х — абсолютно классические параметры. Так что на этом уровне квантовой интерференции не будет! Использование собственных состояний |x> является излишним. При малых р они близки к плоским волнам... Выражение М.С. неудачно.
Для меня очевидно, что ваша «обычная» нормализация <x'|x> = δ ошибочна, поэтому она асимметрична по сравнению с <p|k> с простой идиосинкразической нормализацией, которую вы имеете. Вот источник ваших затруднений. Если вы потакаете забавному определению |x>, которое дает Мэтт, и отвергаете свою нормализацию, то, говоря языком P&S, это состояние будет (2.41). И его нормализация равна (2.50) для t=0, так что тогда (2.52), сходящаяся, локализованная и странная. Дело в том... что этим почти никогда не пользуются! Эксперименты решительно живут в Энерго-импульсном пространстве...
Хм... Думаю, мы согласны с тем, что выражение лица Мэтта неудачное. Мне кажется, весь язык «создает частицу в позиции x» тоже неудачен (поскольку частица делокализована). Но, в любом случае, теперь я гораздо лучше понимаю, что происходит.
Связанные 98711 .

Ответы (1)

Могли бы также собрать мои комментарии, большинство из которых были удалены, в этом ответе на заметку.

По сути, QFT не хочет, чтобы вы приближались к собственным состояниям стиля QM. Собственное состояние оператора импульса, | п ⟩ , не является обычным QM и не имеет такой же размерности. Однако КТП явно не поощряет поиск фантастического оператора положения, сопряженного с (P&S (2.33)) перечисляющим P- оператором, который он использует, и нормализует особым образом. Ангелы должны должным образом опасаться туда ступать.

Соответствующее «почти» локализованное сопряженное состояние этому | п ⟩ я позвоню

| Икс   ~ ⟩ ≡ ф ( Икс ) | 0 ⟩ "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 е − я п ⋅ Икс 2 ю п | п ⟩   .

Шварц неразумно называет это | Икс ⟩ , предлагая спутать его со стандартным состоянием КМ, локализованным в x с помощью δ-функции, которое никто не использует, не нуждается и не хочет из-за досадных парадоксов типа того, что вы получили. P&S мудро использовали константу пропорциональности и оставляли вещи расплывчатыми и вызывающими воспоминания, но они не смогли предотвратить ваш вопрос! Это просто уникальное одночастичное состояние с центром в x с этим свойством нормализации.

Импульсная размерность КМ | Икс ⟩ составляет 3/2, тогда как у | Икс   ~ ⟩ равно 1, что противоположно QFT | п ⟩ мы используем в лаборатории.

Теперь P&S (2,50-2,52) эффективно нормализует | Икс   ~ ⟩ , который я бы предпочел переписать как

⟨ 0 | ф ( Икс ) ф ( у ) | 0 ⟩ "=" ⟨ Икс   ~ | у   ~ ⟩ "=" м 4 π 2 р К 1 ( м р ) ,
с измерением импульса 2, хорошо, где р ≡ | Икс − у | , и К 1 является вездесущей модификацией Бесселя (Бассета) с резким пиком в начале координат на шкале комптоновской длины волны 1/ м .

Несмотря на легкую необычность в происхождении, К 1 ( Икс ) → 1 / Икс как Икс → 0 , он быстро обрывается при большом аргументе x , π / 2 Икс   е − Икс . Итак, штаты | Икс   ~ ⟩ не полностью локализованы в x , как можно было бы ожидать от δ-функции КМ, но они теряют всякую поддержку за пределами 1-2 комптоновских длин волны рассматриваемой частицы и почти локализованы. На рисунке этой автокорреляционной функции одновременных волновых пакетов r по оси абсцисс представлено в комптоновских единицах длины волны:

K1/x в комптоновских единицах длины волны

Напомним, что эксперименты по рассеянию эффективно живут в импульсном пространстве, обнаруживая импульсы и энергии классических объектов — шариков ВВ на этом уровне. (Пространственная информация в детекторах - это просто классическое геометрическое средство определения углов импульсов.) КМ-интерференция уже учтена КТП и теоремой Вика на этом этапе обнаружения асимптотических состояний.

Штаты | п ⟩ являются практически классическими: они не сообщаются/не мешают друг другу, живя в непересекающихся секторах суперотбора фоковского пространства, полностью декогерентные. Итак, волновой пакет | Икс   ~ ⟩ практически классический, и его квантовая природа проявляется только при работе с большим количеством квантовых полей. В экспериментах по рассеянию никогда не удается обнаружить эту легкую субфермиевскую нелокальность; но, кто знает, в самой ранней космологии большого взрыва можно было подумать об этом.

Эти волновые пакеты являются истинными (одночастичными) сопряженными собственными состояниями импульса (проверьте!), ⟨ Икс   ~ | п ⟩ "=" е я Икс ⋅ п . Но обратите внимание, что это всего лишь проекция одной p- компоненты из классического волнового пакета — обычный классический анализ Фурье!

Связанные 287759 .

Это упражнение в QFT в двух словах, Зи.
Да, это стандартное упражнение для пальцев в большинстве курсов QFT, чтобы убедить студента в развязке пространственно-подобных разделений. Однако ссылка PSE, которую я предоставляю, более дружелюбна. Тони никогда не попадает в ловушку квалифицированной локализации.
Спасибо ... В основном я понял это из ваших комментариев, но, надеюсь, подробное объяснение поможет другим.
Все, что угодно, лишь бы избежать страшной теоремы Ри-Шлидера … что угодно!
Получение частиц из полей: проблема нормализации или проблема локализации?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v