Разница между «преобразованием Лоренца» и «правильным ортохронным»

Ваши определения на самом деле относятся к правильному ортохронному преобразованию Лоренца, а не к общим преобразованиям Лоренца, поэтому вам трудно найти разницу! (Если вам от этого станет легче, вчера мы с коллегой пытались отладить его тестовую установку, и прошло два часа сложных испытаний, прежде чем мы, два гения, поняли, что не включили питание ключевого элемента комплекта!)

Общее преобразование Лоренца определяется только критерием 1) - это просто любое линейное преобразование, сохраняющее квадратичную форму$t^2 - x^2 - y^2 - z^2$.

Собственными ортохронными преобразованиями являются те, которые принадлежат компоненту тождественной связности . $SO^+(1,\,3)$полной группы Лоренца$O(1,\,3)$. То есть правильные, ортохронные преобразования — это те, которые могут быть достигнуты из$4\times4$единичную матрицу, следуя непрерывным путем через группу Лоренца. Эквивалентно, это матрицы, находящиеся на путях через группу Лоренца, определяемую дифференциальным уравнением:

$$\begin{array}{lcl}\mathrm{d}_s L &=& (a_x(s)\, J_x + a_2(s)\, J_y+a_z(s)\, J_z + b_x(s)\, K_x + b_y(s)\, K_y+b_z(s)\, K_z)\,L\\L(0) &=& \mathrm{id}\end{array}\tag{1}$$

где$\mathrm{id}$это$4\times 4$личность,$a_j(s),\,b(s)$являются непрерывными функциями параметра$s$и$J_j,\,K_J$шесть матриц$4\times 4$которые охватывают алгебру Ли группы Лоренца, т . е . реальное векторное пространство всех возможных «касательных к единице», т . е . всех возможных значений$\mathrm{d}_s L|_{s=0}$. Один из возможных наборов:

$$\begin{array}{lcllcllcl}J_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right)&J_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}\right)&J_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\\K_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&10&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)\end{array}\tag{2}$$

(Смотрите, как$J_j$косоэрмитовы, поэтому имеют чисто мнимые собственные значения, так что$\exp(a_j\, J_j)$есть такие вещи, как$\sin,\,\cos$угла и является матрицей вращения, тогда как$K_j$эрмитовы с чисто действительными собственными значениями, так что$\exp(b_j\, K_j)$есть такие вещи, как$\sinh,\,\cosh$быстроты и является чистой матрицей наддува).

Интуитивное описание: представьте, что вы сидите за пультом «гиперпривода» вашего космического корабля: в нем есть два трекбола, каждый со своими рычагами с пометками «крутить» и «разгон» и набор акселерометров — линейный и вращательный. Ваш космический корабль изначально движется по инерции. Вы вращаете трекболы, чтобы установить ось вращения и направление ускорения соответственно. Когда вы тянете за рычаги, рычаг вращения увеличивает угловую скорость вокруг оси вращения, рычаг наддува увеличивает линейную скорость в направлении наддува. Иначе говоря, трекбол «поворот» и его рычаг устанавливают веса суперпозиции.$a_j(s)$принадлежащий$J_j$в (1), когда мы используем определения в (2) и «ускоряющий» трекбол и его рычаг устанавливают веса$b_j$принадлежащий$K_k$. Вы проходите контрольную последовательность, заканчивающуюся тем, что ваши акселерометры ничего не показывают, так что теперь набор$x,\,y,\,z$Оси, прикрепленные к вашему космическому кораблю, движутся по инерции относительно начального кадра. Надлежащие ортохронные преобразования — это в точности любое преобразование между начальной системой отсчета и инерциальной системой отсчета, до которой вы можете добраться с помощью элементов управления .

Однако возможны и другие преобразования, сохраняющие квадратичную форму$t^2 - x^2 - y^2 - z^2$которые не соответствуют вашим критериям 2. и 3., но следуют только «простому» шаблону, который делает их «не сильно отличающимися» от компонента, связанного с идентичностью. Дискретная подгруппа полной группы Лоренца есть$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$с

$$P=\text{"parity flipper"} = \mathrm{diag}[1,\,-1,\,-1,\,-1];\\T=\text{''time flipper''} = \mathrm{diag}[-1,\,1,\,1,\,1]$$

За исключением$\mathrm{id}$, ни к одному из них нельзя добраться из единицы путями, удовлетворяющими (1). Они принадлежат разным связанным компонентам из компонента идентичности.$SO^+(1,\,3)$. Действительно, компонента тождественной связности является нормальной подгруппой полной группы Лоренца$SO(1,\,3)$и частное$O(1,\,3) / SO^+(1,\,3)$это маленькая группа$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$. Таким образом, любое полное преобразование Лоренца можно представить как правильное ортохронное преобразование, за которым следует одно из$P,\,T$или$P\,T$. Полная группа Лоренца состоит из четырех отдельных связанных компонентов. (в сторону:$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$является «четырегруппой» Клейна: единственная возможная группа из четырех элементов, кроме$\mathbb{Z}_4$).

Чтобы обнаружить неправильную или неортохронную трансформацию, вы делаете одну из двух вещей:

1. Вычислите определитель матрицы. Если это -1, то вы знаете, что он должен включать один из$P$или$T$, так что это неправильно или не ортохронно. Вы можете дополнительно дифференцировать$P$и$T$смежные классы, глядя на$L_0^0$составляющая трансформации:$T$coset имеет$L_0^0<0$, поскольку такое преобразование меняет роли «будущего» и «прошлого» (фактически отражает векторное пространство Минковского в$t=0$самолет).

2. Если определитель$+1$, то он может принадлежать$P\,T$смежный класс$O(1,\,3)$. Как и в пункте 1,$T$косет и$P\,T$смежный класс можно распознать как преобразования с$L_0^0<0$

Это правда.

Однако не все преобразования Лоренца должны быть правильными ($det(L) = 1$) или ортохронный$L_0^0 \geq 1$например,

• преобразование четности$diag(1,-1,-1,-1)$неправомерно (поскольку$det(L) = -1$), но ортохронный (поскольку$L_0^0 = 1)$

• тогда как обращение времени$diag(-1,1,1,1)$является неортохронным преобразованием (поскольку$L_0^0 = -1)$