В чем разница между TμνTμνT^\mu{}_\nu и TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Я понимаю, почему горизонтальный порядок имеет значение для индексов в одной и той же вертикальной позиции, например:

Т ( В ( 1 ) , В ( 2 ) ) "=" Т мю ν В ( 1 ) мю В ( 2 ) ν ≠ Т ν мю В ( 1 ) мю В ( 2 ) ν "=" Т ( В ( 2 ) , В ( 1 ) )

Но я не понимаю, почему Т мю ν ≠ Т ν мю в общем. Как я это вижу, оба являются линейными картами из вектора и двойственного вектора в р . Горизонтальный порядок индексов не должен иметь значения, потому что вертикальное положение уже указывает, относится ли оно к векторному индексу или к двойному векторному индексу:

Т ( ю , В ) "=" Т мю ν ю мю В ν "=" Т ν мю ю мю В ν "=" Т ( ю , В )

Просто чтобы уточнить, я предполагаю, что вы не имеете в виду тензор энергии-импульса - это то, что я изначально предполагал из ваших обозначений.
@ БенКроуэлл Верно. Я должен был быть более осторожным с обозначениями. Но Т мю ν ≠ Т ν мю для тензора энергии-импульса тоже, верно?

Ответы (2)

Т мю ν и Т ν мю являются картами из вектора и двойственного вектора в р , истинный. Но они не обязательно являются одной и той же картой друг для друга.

Математически вы можете увидеть это, рассмотрев разницу явно:

Т мю ν − Т ν мю

Вы можете использовать метрику для повышения/понижения одного из индексов, например Т мю ν "=" г р ν Т мю р . Если вы сделаете это для обоих, вы получите:

Т мю ν − Т ν мю "=" г р ν ( Т мю р − Т р мю )

Что показывает, что причина Т мю ν ≠ Т ν мю то же самое, почему Т мю ν ≠ Т ν мю в общем.

Разница в том, ( Т мю р − Т р мю ) г р ν .

Я имел в виду концептуально, а не буквально Т мю ν − Т ν мю . Но теперь я заинтригован. Откуда пошло это выражение? Не могли бы вы уточнить свой ответ?
@Wood Сокращение, которое повышает или понижает индекс, не меняет порядок индексов. Для несимметричных тензоров это единственный способ прояснить некоторые различия. Для симметричных тензоров вы иногда будете видеть индексы в одном и том же горизонтальном положении, потому что порядок перестает иметь значение. Очевидным примером является сокращение двух метрик для получения дельты Кронекера.
В чем разница между TμνTμνT^\mu{}_\nu и TνμTνμT_\nu{}^\mu?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v