Вопрос об индексной записи и метрическом тензоре

Да, для выполнения матричного умножения мы обычно складываем фиктивные индексы вместе, но это так (при условии, что один из них не работает над$\mathbb{H}$) конвенция на самом деле.

Не забывайте, что это условное обозначение Эйнштейна.

Когда вы пишете

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{ij} B_{jk} = \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{jk}$$

вы пишете сокращенную версию в соответствии с соглашением Эйнштейна. Что это такое для одного матричного элемента?

$$(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})_{i j} = A_{ij} B_{jk} = \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{jk} = \sum_{j=1}^n B_{jk} A_{ij}$$

предполагая, что ваши матрицы$n\times n$матрицы, так как вещественные (или комплексные) числа коммутируют.

Однако, если мы всегда помним о соблюдении соглашения Эйнштейна, для тензорного исчисления это не имеет большого значения.$^{\dagger}$, так как наша метрика в специальной теории относительности симметрична.

Так что я мог бы написать

$$g^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu}_{\space \space \alpha} \Lambda^{\nu}_{\space \space \beta} g^{\alpha \beta} = \Lambda^{\mu}_{\space \space \alpha} g^{\alpha \beta} \Lambda^{\nu}_{\space \space \beta} = g^{\alpha \beta} \Lambda^{\mu}_{\space \space \alpha} \Lambda^{\nu}_{\space \space \beta}$$

сказать, поскольку мы знаем, что

$$g^{\mu \nu} = g^{\nu \mu}$$

пока мы осторожно суммируем индексы, как указано, все они одинаковы.

Теперь, что касается вашего второго вопроса, я точно не знаю, о чем вы спрашиваете, поскольку вы говорите, что понимаете, откуда это выражение. Действие метрического тензора заключается в повышении и понижении индексов.

Итак, для первого из ваших матричных тензоров во втором выражении$g^{\lambda \mu}$, скажем, мы видим, что он свернут с$\mu$индекс вашего тензора преобразования Лоренца, и он поднимает этот индекс до$\lambda$.

С$g^{\lambda \mu}$симметричен, как я уже сказал, возможно, вы бы увидели это более четко, если бы написали как

$$g^{\lambda \mu} \Lambda^{\rho}_{\space \space \mu} = g^{ \mu \lambda} \Lambda^{\rho}_{\space \space \mu} = \Lambda^{\rho \lambda}$$

Иногда легче увидеть, находятся ли сокращенные индексы «на одной стороне», в данном случае слева, а иногда, если свободный индекс,$\lambda$здесь находится «на той стороне, на которой он закончится», опять же, в данном случае на левой.

Что касается вашего последнего вопроса, то я никогда раньше об этом не задумывался, но для$\Lambda$преобразование Лоренца, которое мы имеем

$$\Lambda \in \mbox{SO}(3,1)$$

в этом случае я бы сказал да, инверсия - это просто транспонирование для ортогональных матриц

$$\Lambda \Lambda^{T} = I$$

так

$$\Lambda^{T} = \Lambda^{-1}$$

Надеюсь, это поможет!

$\dagger$Я должен сделать оговорку, когда вы делаете суперсимметрию с фермионами Вейля, ваша «метрика» антисимметрична, так что в этом случае это имеет значение, потому что

$$\epsilon^{\mu \nu} = - \epsilon^{\nu \mu}$$

и есть различие в суммировании «Северо-Востока»,$\nearrow$и «Юго-Восток»$\searrow$.

Я понимаю, что это не относится к вам здесь, так как вы делаете Special Rel., но я просто не хотел, чтобы вы думали, что это всегда так.