Соглашение Эйнштейна о суммировании: один как верхний, один как нижний?

Question

Соглашение Эйнштейна о суммировании: один как верхний, один как нижний?

K7PEH

Мой вопрос относится к часто указываемому правилу, определяющему нотацию суммирования Эйнштейна, в которой суммирование подразумевается, когда индекс повторяется дважды в одном термине, один раз как верхний индекс и один раз как нижний индекс.

Таким образом, термин, который появляется, например:

А^{я} Б_{я} "=" \sum_{я} А^{я} Б_{я} "=" А^{1} Б_{1} + А^{2} Б_{2} + А^{3} Б_{3}

$A^i B_i\quad=\quad\sum_i A^i B_i\quad=\quad A^1B_1+A^2B_2+A^3B_3$

Согласно этому правилу, следующий повторяющийся член индекса вообще не будет суммироваться.

А^{я} Б^{я}

$A^iB^i$ Потому что повторяющийся индекс не отображается как один верхний и один нижний в термине. Тем не менее, я иногда вижу, что различные тексты и другие ссылки ссылаются на соглашение о суммировании Эйнштейна, когда такие термины (оба индекса выше или оба индекса ниже) существуют.

Так вот, это ошибочное использование нотации суммирования Эйнштейна часто появляется в текстах по математике, а не по физике. Например, глава 1 серии набросков Шаума по тензорному исчислению называется «Соглашение о суммировании Эйнштейна» и продолжает вводить обозначения и никогда не упоминает правило верхнего и нижнего повторяющихся индексов, но явно дает пример использования повторяющихся нижних индексов:

а_{1} {Икс}_{1} + а_{2} {Икс}_{2} + а_{3} {Икс}_{3} + \dots + а_{н} {Икс}_{н} "=" \sum_{я "=" 1}^{н} а_{я} {Икс}_{я}

$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\cdots+a_nx_n = \sum_{i=1}^n a_ix_i$

Обычно я работаю с индексной нотацией по предметам физики при самостоятельном изучении теории поля и общей теории относительности, и я не припомню, чтобы когда-либо сталкивался с примерами соглашения о суммировании, которые не используют правило повторного индекса как один верхний и один нижний. Но я озадачен, потому что, несмотря на такое использование в физике, я не вижу причин, по которым один индекс должен быть выше, а другой ниже. Другими словами, повторяющийся индекс и как нижний, и как верхний, кажется, ничего не нарушает (например, этот более нестрогий подход используется во всей цитируемой выше книге Шаума.

Мой вопрос: требует ли правильное определение соглашения о суммировании Эйнштейна, что один индекс должен быть выше, а другой повторяющийся индекс должен быть ниже. Или это просто соглашение о стиле, используемое в физике (например, в общей теории относительности).

любопытный разум

И кто имеет право решать, каково «правильное» определение «конвенции суммирования Эйнштейна»? Конвенция работает, однако автор текста говорит, что она работает.

Сингал

Я не эксперт в этом, но, насколько я знаю, это связано с ковариантом (

a_{i}

$a_i$ ) и контравариантный (

b^{i}

$b^i$ ) характер векторов и только суммирование по компоненту ковариантного вектора с контравариантным вектором приводит к действительному скаляру.

Physics_Plasma

Авторы обычно определяют свою собственную версию правила суммирования Эйнштейна в начале своих текстов. Это должно быть то, чему вы следуете. По моему опыту, почти все тексты, использующие четыре вектора (специальная теория относительности или общая теория относительности), используют сокращение между верхними и нижними индексами. Однако для предметов, занимающихся 3-мя пространственными измерениями (нерелятивистская механика жидкости и т. д.), часто стягивают верхний и верхний индексы, или нижний и нижний, так как нет необходимости их различать.

Храбрость

В учебниках я видел форму

A_{i} B^{i}

$A_i B^i$ вводится после введения контра и ковариантных компонент, но до этого

A_{i} B_{i}

$A_i B_i$ обычно используется

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/105347/2451 и ссылки там.

Райан Унгер

@Physics_Plasma То, что в этом нет необходимости, не означает, что не следует;)

K7PEH

@ACuriousMind Я предполагаю, что сам Эйнштейн может быть тем «авторитетом» в правильном определении. В переводе с немецкого в статье Эйнштейна 1916 года, озаглавленной «Основание общей теории относительности», Эйнштейн говорит: «Примечание об упрощенном способе написания выражений. Взгляд на уравнения этого абзаца показывает, что всегда существует суммирование по индексам. которые встречаются дважды под знаком суммирования (например, индекс

ν

$\nu$ в (5)), и только по дважды встречающимся индексам. Поэтому можно без потери ясности опустить знак суммирования. <<продолжение>>

K7PEH

@ACuriousMind <<продолжение>> «Вместо этого мы вводим соглашение: если индекс встречается дважды в одном члене выражения, он всегда должен суммироваться, если прямо не указано обратное». И обратите внимание, что уравнение (5), на которое ссылается цитата Эйнштейна, представляет собой преобразование координат с использованием нижних индексов, но один из нижних индексов находится в знаменателе, поэтому он действует как верхний индекс. Итак, несмотря на то, что это авторитет, кажется, игнорирует (кроме как в примере) понятие повторяющегося индекса, являющегося одним верхним и одним нижним.

K7PEH

@ACuriousMind - кстати, я согласен с вашим комментарием: «Конвенция работает, однако автор текста говорит, что она работает».

Ответы (2)

Соглашение Эйнштейна о суммировании: один как верхний, один как нижний?

И кто имеет право решать, каково «правильное» определение «конвенции суммирования Эйнштейна»? Конвенция работает, однако автор текста говорит, что она работает.
Я не эксперт в этом, но, насколько я знаю, это связано с ковариантом ( $a_i$ ) и контравариантный ( $b^i$ ) характер векторов и только суммирование по компоненту ковариантного вектора с контравариантным вектором приводит к действительному скаляру.
Авторы обычно определяют свою собственную версию правила суммирования Эйнштейна в начале своих текстов. Это должно быть то, чему вы следуете. По моему опыту, почти все тексты, использующие четыре вектора (специальная теория относительности или общая теория относительности), используют сокращение между верхними и нижними индексами. Однако для предметов, занимающихся 3-мя пространственными измерениями (нерелятивистская механика жидкости и т. д.), часто стягивают верхний и верхний индексы, или нижний и нижний, так как нет необходимости их различать.
В учебниках я видел форму $A_i B^i$ вводится после введения контра и ковариантных компонент, но до этого $A_i B_i$ обычно используется
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/105347/2451 и ссылки там.
@Physics_Plasma То, что в этом нет необходимости, не означает, что не следует;)
@ACuriousMind Я предполагаю, что сам Эйнштейн может быть тем «авторитетом» в правильном определении. В переводе с немецкого в статье Эйнштейна 1916 года, озаглавленной «Основание общей теории относительности», Эйнштейн говорит: «Примечание об упрощенном способе написания выражений. Взгляд на уравнения этого абзаца показывает, что всегда существует суммирование по индексам. которые встречаются дважды под знаком суммирования (например, индекс $\nu$ в (5)), и только по дважды встречающимся индексам. Поэтому можно без потери ясности опустить знак суммирования. <<продолжение>>
@ACuriousMind <<продолжение>> «Вместо этого мы вводим соглашение: если индекс встречается дважды в одном члене выражения, он всегда должен суммироваться, если прямо не указано обратное». И обратите внимание, что уравнение (5), на которое ссылается цитата Эйнштейна, представляет собой преобразование координат с использованием нижних индексов, но один из нижних индексов находится в знаменателе, поэтому он действует как верхний индекс. Итак, несмотря на то, что это авторитет, кажется, игнорирует (кроме как в примере) понятие повторяющегося индекса, являющегося одним верхним и одним нижним.
@ACuriousMind - кстати, я согласен с вашим комментарием: «Конвенция работает, однако автор текста говорит, что она работает».

Кнчжоу · Answer 1

В «строгом» смысле вы должны применять соглашение о суммировании только к паре индексов, если один повышается, а другой понижается.

Например, рассмотрим вектор $v$ и двойной вектор $f$ (т.е. карта из векторов в числа). Тогда можно вычислить $f(v)$ , число, которое получается из $f$ действующий на $v$ . В компонентах это будет записано как $f_i v^i$ , так как двойственные векторы имеют меньшие индексы.

Если вместо этого у вас есть два вектора $v$ и $w$ , их вообще никак не объединить в число, а количество $v^i w^i$ без разницы. Но если у вас есть метрика $g_{ij}$ , вы можете использовать его, чтобы повернуть $w$ из вектора в двойственный вектор с новыми компонентами $g_{ij} w^j$ . Затем вы можете действовать с этим двойственным вектором на $v$ , давая $g_{ij} v^i w^j$ . Обратите внимание, что все индексы спарены правильно.

При этом существует множество исключений:

Много текстов по теории поля и даже текстов по ОТО напишут $v^i w^i$ , но вы должны помнить, что это действительно означает $g_{ij} v^i w^j$ . Когда вы выполняете явные вычисления, вы должны поместить этот фактор в себя.
Если вы работаете в пространстве с простой метрикой (например, в евклидовом пространстве, где $g_{ij}$ является личностью), тексты могут опускаться $g_{ij}$ потому что он "ничего не делает". То есть вектор $w^j$ и соответствующий двойственный вектор $g_{ij} w^j$ всегда имеют одни и те же компоненты, поэтому они также могут их идентифицировать.
Если предыдущий пункт верен, автор может решить использовать индексную позицию для хранения какой-либо другой информации, поэтому соглашение о суммировании остается «строгим». Чаще это происходит в текстах, не связанных с физикой.

Существует достаточно возможных соглашений, поэтому вам следует каждый раз просто проверять начало книги.

Я никогда не видел, чтобы текст GR писал $v^iw^i$ .
На самом деле, во втором томе Фейнмановских лекций используется обозначение $a_\mu b_\mu$ для демонстрации соглашения о суммировании (см. уравнение 25.7, окончательное издание). Однако Фейнман вставляет знаки минус в пространственные координаты, как это следует из метрики пространства Минковского. $\eta_{\mu\nu}$ но он никогда не упоминает верхний/нижний или явно не называет соглашение о суммировании Эйнштейна.
@ K7PEH В таком случае Фейнман просто делает мой первый пункт.
@knzhou Да. Когда я исследовал свой вопрос, просматривая элементы в различных текстах в своей личной библиотеке, я увидел запись Фейнмана как НЕ пример использования обоих нижних или обоих верхних индексов, поэтому я не упомянул об этом в своем исходном вопросе.

Диракология · Answer 2

Нет ничего плохого в суммировании индексов, когда оба индекса либо вверх, либо вниз. Это просто вопрос соглашения. Однако значения могут быть другими, если вы придерживаетесь релятивистской теории.

Когда вы суммируете один верхний и один нижний индексы в теории относительности, это означает, что у вас есть лоренц-инвариантная величина, потому что вы комбинируете ковариантные и контравариантные компоненты таким образом, что комбинация не меняется при преобразованиях Лоренца. Это (хорошее) правило, принятое большинством авторов, и его важность заключается в том, что мы можем сразу идентифицировать инвариантные величины. Однако некоторые авторы всегда используют индексы вниз даже для релятивистских теорий. Например, Классическая теория поля Рубакова.

Если вы находитесь в евклидовом пространстве, вам не о чем беспокоиться. Обычно люди используют все индексы вниз.

Соглашение Эйнштейна о суммировании: один как верхний, один как нижний?

K7PEH

любопытный разум

Сингал

Physics_Plasma

Храбрость

Qмеханик

Райан Унгер

K7PEH

K7PEH

K7PEH

Ответы (2)

Кнчжоу

Райан Унгер

K7PEH

Кнчжоу

K7PEH

Диракология

Разница в ковариантном/контравариантном порядке индексации в тензорах

Глупо ли различать ковариантные и контравариантные векторы?

Вопрос об индексной записи и метрическом тензоре

В чем разница между TμνTμνT^\mu{}_\nu и TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Что за обозначения индексов в общей теории относительности?

Почему не распространена инвариантная запись?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Переупорядочивание терминов в нотации абстрактного индекса — общая теория относительности

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Манипуляции с нотацией тензорного индекса