2π2π2\pi и правила Фейнмана

Я полагаю, вы говорите о стандарте$2\pi$это появляется в правилах для преобразования Фурье. Фактор$2\pi$или$1/2\pi$или два фактора$1/\sqrt{2\pi}$должны появиться «где-то» в правилах преобразования Фурье, потому что именно это подразумевает математика. В любом случае, если это ваш вопрос, то это математический вопрос, и вы можете изучить его на каком-нибудь достаточно базовом ускоренном курсе по математическому анализу, возможно, даже на

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Номер$k=2\pi$минимальное положительное число, для которого$\exp(i k x) = 1$для$x=1$. Это потому что$\exp(2\pi i)=1$- самое любимое тождество Гаусса и Фейнмана во всей математике. Эту константу знает школьник$2\pi$которая появляется в показателе как длина окружности единичного круга. Вот почему$2\pi$- это естественный интервал в пространстве частот, и интервал необходим для перевода «суммы по угловым частотам или волновым числам» в интеграл по тем же переменным. (Это преобразование легко, если вы думаете об интеграле Римана$\int f(x)dx=\lim \sum f(x)\Delta x$и т.д.:$\Delta x$факторами являются промежутки.) Вот как$2\pi$появляется.

То же самое, если вы хотите$\delta$-функция, т.$2\pi$появляется в личности

Различные кратные$\pi$появляются во множестве других мест в квантовой механике, квантовой теории поля и физике в целом по многим тесно связанным причинам. Например, оценка диаграмм Фейнмана приводит к объему 4-сферы или связанным с ним интегралам и объемам единицы$n$-сферы являются рациональными произведениями степени$\pi$, слишком. (Вот почему, например, естественно включить$1/4\pi$от поверхности сферы по закону Кулона. Первоначальный пример с$2\pi$также является особым примером, потому что вышеупомянутый единичный круг также является одномерной сферой.) Здесь слишком много математики, чтобы подготовить один для всех вхождений$\pi$в физике. Эта константа появляется почти везде в физике, и нельзя заниматься физикой, не зная многих из этих математических тождеств, включающих$\pi$.

Когда вы начинаете с вычисления амплитуд перехода в пространстве положений и выполняете преобразование Фурье этих амплитуд, чтобы получить амплитуду перехода в импульсном пространстве, вы получаете члены (например, в$2 \to 2$взаимодействие) в$\int d^4v e ^{-i(p_1+p_2-p_3-p_4)v}$, а это равно$(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)$

Примером такой амплитуды в позиционном пространстве является (например, в$\phi^4$теория):

$A (x_1,x_2,x_3,x_4) = \int d^4w ~d^4z ~\delta(x_1-w)~\delta(x_2-w) [D(w-z)]^2~\delta(z-x_3)\delta(z-x_4)$

Здесь$D$является пропагатором в позиционном пространстве.

При преобразовании Фурье$A (p_1,p_2,p_3,p_4) = \int dx_1 dx_2 dx_3dx_4 A (x_1,x_2,x_3,x_4) e^{i (p_1x_1 +p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)}$,

вы получаете срок$e ^{i(w (p_1+p_2) - z(p_3+p_4))}$, который вы можете написать$e ^{i w (p_1+p_2 -p_3-p_4)} e ^{i(w - z) (p_3+p_4)}$, первый член дает вам$(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)$член, а второй член дает преобразование Фурье$[D(x)]^2$, в точку$p_3+p_4= p_1+p_2$, что является сверткой$\int dp \tilde D(p) \tilde D(p_1+p_2 -p)$, где$\tilde D(p)=\frac{1}{p^2}$

Таким образом, интеграл$L$раз внушительная "дельта Кронекера"$k=0$и поскольку расстояние между допустимыми$k$является$2\pi/L$, интеграл т.е.$L$раз дельта Кронекера может быть преобразована в$2\pi/L$раз$L$умножить на дельта-функцию, которая$2\pi$раз больше дельта-функции, потому что$L$факторы отменяют.