Стандартная практика преобразования Фурье для физики

Существует много возможных вариантов относительно общих коэффициентов масштабирования, а также времени и частоты преобразования коэффициентов масштабирования. Можно кратко суммировать эти соглашения, используя два числа.$a$и$b$. Я использую те же обозначения, что и в функции преобразования Фурье Mathematica.

Определим преобразование Фурье:

$$\mathcal{FT}_{a,b}[f(t)](\omega) = \sqrt{\frac {|b|}{(2\pi)^{1-a}}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{+i b \omega t} f(t) dt$$

И обратное преобразование Фурье

$$\mathcal{FT}_{a,b}^{-1}[\tilde{f}(\omega)](t) = \sqrt{\frac{|b|}{(2\pi)^{1+a}}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i b \omega t} \tilde{f}(\omega) d\omega$$

Позволять

$$\tilde{f}_{a,b}(\omega) = \mathcal{FT}_{a,b}[f(t)](\omega)$$ $$\check{f}_{a,b}(t) = \mathcal{FT}_{a,b}^{-1}[\tilde{f}_{a,b}(\omega)](t)$$

С помощью теоремы обращения Фурье можно показать, что для классов функций, которые нас интересуют в физике$\check{f}_{a,b}(t) = f(t)$для любого$a$и$b$. То есть для этих определений преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье две операции являются обратными друг другу.

Оказывается, в инженерной и научной литературе есть много условных обозначений, которые люди выбирают в зависимости от того, к чему они привыкли.

Первое соглашение в OP -$(a,b) = (1,-1)$который обычно используется в физике примерно так же часто, как$(a,b) = (1,+1)$что является вторым соглашением, которое вы показали.

Кроме того, вы также увидите соглашения, в которых$(a,b) = (0,\pm1)$где коэффициент$2\pi$делится поровну между преобразованием и обратным преобразованием, отображаемым с квадратным корнем.

Кроме того, обычно в математике или обработке сигналов вы столкнетесь с$(a,b) = (0,\pm 2\pi)$соглашение, в котором нет префактора$2\pi$либо на преобразовании, либо на обратном преобразовании, но теперь вместо угловой частоты$\omega$представляет циклическую частоту и$2\pi$появляется во всех экспонентах.

Все эти различные соглашения имеют преимущества и недостатки, которые могут сделать один выбор соглашения более привлекательным, чем другой, в зависимости от приложения. Суть в том, что в любой задаче, какое бы соглашение ни было выбрано, оно должно быть одинаковым на протяжении всей задачи.

Вернемся к основному вопросу ОП. На языке, указанном в этом ответе, ОП в основном спрашивает, имеет ли значение$b=+1$или$b=-1$. Краткий ответ заключается в том, что это не имеет значения. В любом случае работает и преобразует исходный сигнал как функцию времени в функцию частоты. Разница связана с тем, как мы интерпретируем положительные и отрицательные частоты. Учитывать

$$f^1(t) = e^{+i\omega_0 t}$$ $$f^2(t) = e^{-i \omega_0 t}$$

Вектор для первой функции вращается против часовой стрелки в фазовом пространстве, тогда как второй вращается по часовой стрелке в фазовом пространстве.

Если мы выберем$b=-1$конвенция тогда$\tilde{f}^1_{1,-1}(\omega)$будет иметь ненулевой вклад при$+\omega_0$тогда как$\tilde{f}^2_{1,-1}(\omega)$будет иметь ненулевой вклад при$-\omega_0$. Мы могли бы сказать$f^1$является сигналом положительной частоты, в то время как$f^2$отрицательно.

Однако если мы выберем$b=+1$потом все наоборот.$\tilde{f}^1_{1,+1}(\omega)$будет иметь ненулевой вклад при$-\omega_0$пока$\tilde{f}^2_{1,+1}(\omega)$будет иметь вклад в$+\omega_0$. сейчас$f^1$отрицательная частота и$f^2$положительная частота!

Таким образом, мы видим, что оба$b=+1$и$b=-1$дайте ответ, который мы можем интерпретировать как частоты, с той лишь разницей, что между ними есть то, что мы называем положительными и отрицательными частотами. В качестве примечания я лично предпочитаю$(a,b)=(1,+1)$потому что это делает формулу преобразования Фурье (которую я использую чаще, чем обратное преобразование) максимально простой. Без префактора и без знака минус в показателе степени.

редактировать: как вы указали, иногда эти знаки могут иметь существенное влияние на некоторые физические величины, такие как изменение знака (инвертирование фазы) комплексного импеданса конденсатора. К сожалению, это то, с чем нам просто приходится иметь дело и стараться соответствовать нашим собственным соглашениям и тем, которые используются в ссылках, с которыми мы сверяемся. Конечно, вы обнаружите, что оба соглашения дают один и тот же ответ для реальной измеримой величины, такой как$V(t)$через резистор.

Я действительно думаю, что это очень хороший вопрос. Оба соглашения правильны, и здесь я пытаюсь объяснить, почему. Итак, преобразование Фурье выводится из основного ряда Фурье. Для апериодических сигналов мы не можем определить законное реальное значение периодичности и пойти на преобразование, позволив периоду простираться до бесконечности.

Ряд Фурье определяется как

$$f(x)=\sum_{0}^{+\infty}\left\{A_k\cos{\frac{2\pi kx}{x_0}}+B_k\sin{\frac{2\pi kx}{x_0}}\right\}\\ A_0=\frac{1}{x_0}\int_{x_0}f(\tau)\mathrm{d}\tau, \quad A_k=\frac{2}{x_0}\int_{x_0}f(\tau)\cos{\frac{2\pi k\tau}{x_0}}\mathrm{d}\tau, \quad B_k=\frac{2}{x_0}\int_{x_0}f(\tau)\sin{\frac{2\pi k\tau}{x_0}}\mathrm{d}\tau$$ Преобразовывая синус и косинус первого уравнения в экспоненциальные формы, получаем $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\left(\frac{A_k-iB_k}{2}e^{i2\pi kx/x_0}\right)+\left(\frac{A_k+iB_k}{2}e^{-i2\pi kx/x_0}\right)\right\}=\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\left(C_k e^{i2\pi kx/x_0}\right)+\left(D_k e^{-i2\pi kx/x_0}\right)\right\}$$

Теперь понятно, что$C_{-k}=D_k$Итак, я могу написать

$$f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}C_k e^{i2\pi kx/x_0}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}D_k e^{-i2\pi kx/x_0}$$ Так что, на мой взгляд, отсюда и начинается расхождение дорог. Когда я начал выводить его с первого ( $C_k$) соглашение, я закончил с $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$ И когда я использовал вторую конвенцию( $D_k$), я в итоге получил $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}\mathrm{d}x$$