Роль строгости [закрыто]

Строгие рассуждения очень похожи на компьютерное программирование — вам нужно написать доказательство, которое (в принципе) можно в конечном счете провести в формальной системе. Это непросто и требует определения многих структур данных (определений) и написания множества подпрограмм (лемм), которые вы используете снова и снова. Затем вы доказываете много результатов по пути, только некоторые из которых имеют общее значение.

Эта деятельность чрезвычайно поучительна, но требует много времени, утомительна и требует много времени и внимания. Строгие рассуждения также вводят множество педантичных различий, чрезвычайно важных для математики , но не столь важных в случаях, с которыми приходится иметь дело в физике.

На физику никогда не хватает времени, и мы всегда должны иметь лишь достаточно точное понимание математики, которое можно максимально быстро передать следующему поколению. Часто это означает, что вы отказываетесь от полной строгости и вводите сокращенные обозначения и неточную терминологию, что затрудняет строгость аргументации.

Некоторые из аргументов в физике, тем не менее, являются чистой магией. Для меня трюк с репликами — лучший пример. Если это когда-нибудь получит строгую версию, я буду ошеломлен.

1) Каковы самые важные и самые старые открытия (понятия, результаты) физики, которым все еще не хватает строгой математической формулировки/доказательства.

Вот старые проблемы, которые могли бы выиграть от тщательного анализа:

• Соотношения двойной дисперсии Мандельштама: амплитуда рассеяния для рассеяния от 2 частиц до 2 частиц может быть аналитически разложена как интеграл по воображаемому разрыву.$\rho(s)$по параметру s, и тогда этот разрыв$\rho(s)$можно записать в виде интеграла по параметру t, что дает двойной разрыв$\rho(s,t)$Если пойти другим путем, разложить разрыв сначала по t, а затем по s, получится та же самая функция. Почему это? Мандельштам утверждал это на основе теории возмущений, и в 1960-х и начале 1970-х годов была проведена некоторая работа, но, насколько мне известно, она так и не была решена.
• Самая старая, датируемая веками: стабильна ли солнечная система (ньютоновская, свободная от комет и астероидов) на все времена? Это известный. Помогут строгие ограничения на то, где интегрируемость терпит неудачу. Теорема КАМ может быть лучшим возможным ответом, но на самом деле она не отвечает на вопрос, поскольку вы не знаете, достаточно ли велики планетарные возмущения, чтобы привести к нестабильности для 8 планет, некоторых больших лун плюс солнца.
• статистическая механика сплошной среды: что такое термодинамический ансамбль для сплошного поля? Каков континуальный предел статистического распределения? При чем здесь непрерывные статистические теории поля?
• Каковы общие топологические солитонные решения классических нелинейных уравнений поля? Учитывая классическое уравнение, как найти возможные топологические солитоны? Могут ли они все генерироваться непрерывно из заданных исходных данных? В качестве конкретного примера рассмотрим солнечную плазму — существуют ли локализованные магнитогидродинамические солитоны?

Здесь миллиард проблем, но мое воображение подводит.

2) Стремление к строгому математическому объяснению, формулировке и доказательству понятий и результатов физики в основном берут на себя математики. Каковы примеры того, что это стремление было полезным для самой физики?

Есть несколько примеров, но я думаю, что они редки:

• Каноническим примером является строгое доказательство Пенроуза существования сингулярностей на замкнутой захваченной поверхности: это был строгий аргумент, основанный на идеях римановой геометрии, и он был чрезвычайно важен для прояснения того, что происходит в черных дырах.
• Квазипериодические мозаики, также связанные с Пенроузом, впервые возникли в работе Хао и Ванга по чистой логике , где они смогли продемонстрировать, что подходящая мозаика со сложными соответствующими ребрами может выполнять полные вычисления. Количество плиток сокращалось до тех пор, пока Пенроуз не дал всего 2, и, наконец, физики открыли квазикристаллы. Это впечатляет, потому что здесь вы начинаете с самой эзотерической нефизической части чистой математики, а заканчиваете самой практической из экспериментальных систем.
• Алгебры Каца-Муди: они возникли наполовину в математике, наполовину в ранней теории струн. Результаты стали физическими в 1980-х годах, когда люди начали интересоваться моделями групповых многообразий.
• Классификация ADE из теории групп Ли (и всей теории групп Ли) в математике имеет важное значение в современной физике. Оглядываясь назад, Гелл-Манн получил кварковую симметрию SU(3), обобщив изоспин в чистой математике.
• Теория препятствий была важна для понимания того, как сформулировать трехмерные топологические теории поля (это было предметом недавнего очень интересного вопроса), которые находят применение в дробном квантовом эффекте Холла. Это очень абстрактная математика, связанная с лабораторной физикой, но используются только некоторые более простые части общего математического аппарата.

3) Приведите примеры того, что настаивание на строгости задерживает прогресс в физике.

Так было несколько раз, к сожалению.

• Статистическая механика: отсутствие строгого доказательства больцмановской эргодичности задержало принятие идеи статистического равновесия. Строгие аргументы были ошибочны — например, легко доказать, что фазовых переходов в конечном объеме не бывает (поскольку распределение Больцмана аналитическое), поэтому это считалось ударом по теории Больцмана, поскольку мы видим фазовые переходы. Вы также можете доказать всякую ерунду о смешении энтропии (что было исправлено правильным обращением с классической неразличимостью). Поскольку не было доказательств того, что поля придут к тепловому равновесию, некоторые люди полагали, что свет черного тела не является тепловым. Это задержало принятие теории Планка и теории Эйнштейна. Статистическая механика не была полностью принята до решения модели Изинга Онсагера в 1941 году.
• Интегралы по путям: это самый известный пример. Они были приняты некоторыми физиками сразу же в 1950-х годах, хотя формализм вовсе не был близок к завершенности, пока Кэндлин не сформулировал переменные Грассмана в 1956 году. После этого момента они могли стать стандартными, но не стали. У формализма была плохая репутация из-за того, что он давал неправильные результаты, в основном потому, что людям не нравилось отсутствие строгости, поэтому они не могли доверять методу. Я слышал, как в 1990-х годах известный физик жаловался, что интеграл по путям в фазовом пространстве (с p и q) не может быть правильным, потому что p и q не коммутируют, а в интеграле по путям они коммутируют, потому что они являются классическими числами ( нет, на самом деле они не --- их значение во вставке разрывно зависит от их временного порядка надлежащим образом). Это было
• Построение квантовой теории поля. Строгие методы 1960-х годов создали набор инструментов из сложных методов распределения и суммирования рядов возмущений, что оказалось наименее полезным способом взглянуть на вещи. Теперь это C* алгебры и операторнозначные распределения. Правильный путь лежит через интеграл по путям вильсоновским способом, и это ближе к исходной точке зрения Фейнмана и Швингера. Но школа строгих физиков в 1960-х воздвигла большие барьеры для входа в работу по теории поля, и прогресс в теории поля был остановлен на десятилетие, пока в 1970-х от строгости снова не отказались. Но надлежащая строгая формулировка квантовых полей все еще отсутствует.

Вдобавок к этому существует бесчисленное множество запретных теорем, которые задержали открытие интересных вещей:

• Время не может быть оператором (Паули): это задержало появление формулы частиц с интегралом по путям благодаря Фейнману и Швингеру. Здесь переменная времени на пути частицы интегрируется по пути, как и все остальное.
• Доказательство фон-Неймана отсутствия скрытых переменных: оно имеет современный потомок в теореме Кохена Шпрехера о запутанных наборах кубитов. Это задержало теорию Бома, которая сначала столкнулась с массовым сопротивлением.
• Отсутствие зарядов, которые нетривиально преобразуются под действием группы Лоренца (Коулман-Мандула): эта теорема имела как положительные, так и отрицательные следствия. Это убило теории SU(6) (хорошо), но заставило людей упустить суперсимметрию (плохо).
• Квазикристаллический порядок невозможен: эта теорема о запрете является стандартным доказательством того, что периодический порядок (общее определение кристаллов) ограничен стандартными пространственными группами. Это сделало квазикристаллы двухъярусными. Нарушается предположение о строгой периодичности.
• Никаких супергравитационных компактификаций с киральными фермионами (Виттен): эта теорема предполагала многообразную компактификацию и пропускала орбифолды 11d SUGRA, которые порождают гетеротические струны (также Виттен с Хорава, поэтому Виттен решил проблему).

4) Приведите примеры того, что твердое математическое понимание определенных вопросов физики пришло из дальнейшего развития самой физики. (В частности, меня интересуют случаи, когда строгое математическое понимание вопросов классической механики требовало квантовой механики, а также случаи, когда прогресс в физике имел решающее значение для строгого математического решения вопросов математики, не возникших в физике.)

Здесь есть несколько примеров:

• Понимание адиабатической теоремы классической механики (о том, что действие является адиабатическим инвариантом) пришло из квантовой механики, поскольку было ясно, что квантовать нужно именно действие, а это не имело бы смысла, если бы оно не было адиабатическим инвариантом. Я не уверен, кто доказал адиабатическую теорему, но это именно то, о чем вы просили --- глубокая классическая теорема, пришедшая из квантовой механики (хотя и за несколько десятилетий до современной квантовой механики).
• Понимание квантовых аномалий пришло непосредственно из физического наблюдения (высокая скорость распада нейтрального пиона на два фотона). Выяснение того, как это происходит с помощью диаграмм Фейнмана, несмотря на то, что наивный аргумент говорит, что это запрещено, привело к полному пониманию всех аномальных терминов с точки зрения топологии. Это, в свою очередь, привело к развитию теории Черна-Саймонса и связи с полиномами узлов, открытым Виттеном и принесшему ему Филдсовскую медаль.
• Теория распределения возникла в работах Дирака, чтобы попытаться заложить хорошую основу для квантовой механики. Природа распределения квантовых полей была понята Бором и Розенфельдом в 1930-х годах, и математическая теория была по существу перенесена из физики в математику. Дирак уже определял распределения с помощью тестовых функций, хотя я не думаю, что он был педантичен в отношении свойств пространства тестовых функций.

5) Роль строгости активно обсуждается в популярных книгах и блогах. Пожалуйста, предоставьте ссылки (или лучше аннотированные ссылки) на академические исследования роли математической строгости в современной физике.

Я не могу этого сделать, потому что я ничего не знаю. Но как бы то ни было, я думаю, что пытаться быть слишком строгим в физике (или даже в некоторых разделах математики) — плохая идея. Основная причина заключается в том, что строгие формулировки должны быть полностью стандартизированы для того, чтобы доказательства разных авторов подходили друг к другу без швов, а это возможно только в очень дальней ретроспективе, когда становятся очевидными лучшие определения. В настоящем мы всегда блуждаем в тумане. Так что всегда есть период, когда разные люди имеют немного разные определения того, что они имеют в виду, и доказательства не совсем работают, и могут случиться ошибки. Это не так уж и страшно, если методы проницательны.

Настоящая проблема — это огромный входной барьер, представленный строгими определениями. Фактические аргументы всегда гораздо менее устрашающие, чем поверхностное впечатление, которое вы получаете, читая доказательство, потому что большая часть доказательства — это настройка механизма, позволяющего реализовать основную идею. Подчеркивая строгость, можно сделать чрезмерный акцент на механизме, а не на идее.

В физике вы пытаетесь описать, что делает природная система, и нет времени тратить время на изучение социологии. Таким образом, вы не можете одновременно изучить все механизмы, стандартизированные математиками, вы просто изучаете идеи. Идеи достаточны для продвижения, но их недостаточно, чтобы убедить математиков в том, что вы знаете, о чем говорите (поскольку вам трудно следовать условностям). Интернет улучшает эту ситуацию, поскольку входные барьеры резко упали, и сегодня может существовать способ объединить строгое и нестрогое мышление способами, которые были невозможны в прежние времена.

Строгость — это ясность понятий и точность аргументов. Поэтому, в конце концов, нет сомнений в том, что мы хотим строгости.

Чтобы достичь этого, нам нужна свобода для спекуляций, во-первых, но для хороших спекуляций нам нужно...

...твердая почва, которая является единственной почвой, которая служит хорошей отправной точкой для дальнейших спекуляций.

в словах нашего обзора , который все об этом вопросе.

Иногда физики ведут себя так, будто строгость заключается в замене очевидного, но неточного аргумента утомительным и скучным доказательством. Но чаще всего строгость заключается в выявлении точных и ясных определений, так что очевидный аргумент становится также несомненно правильным.

Есть много исторических примеров.

Например, простое понятие дифференциальных форм и внешних производных. В конце концов, это не имеет большого значения, но когда они были введены в физику, они не только обеспечили строгость множества расплывчатых аргументов о бесконечно малой вариации и расширенном количестве. Возможно, что еще более важно, они уточнили структуру. Максвелл по-прежнему заполнял две страницы уравнениями электромагнетизма в то время, когда даже понятия линейной алгебры были тайной тайной. Сегодня мы говорим просто$d \star d A = j_{el}$и увидеть гораздо больше, например, вывести закон квантования заряда строго с детской легкостью. Ясная и точная концепция - вот что делает это для нас.

И хотя, вероятно, инженеры могли бы (и, может быть, делают?) работать, используя оригинальные концепции Максвелла, теоретики застряли бы. Невозможно увидеть тонкости самодуальной теории более высокой калибровки, например, без строгой концепции теории де Рама.

Таких примеров еще много. Вот еще один: рациональная КТП была «полностью понята» и долгое время объявлялась решенной на нестрогом уровне. Когда была установлена ​​строгая FRS-классификация полных рациональных КТП, не только выяснилось, что некоторые из предполагаемых рациональных конструкций КТП в литературе на самом деле не существовали, а существовали другие, которые были упущены, а главное было: вдруг это было очень ясно, почему и какие из этих примеров существуют. Опираясь на прочную основу этой новой строгости, теперь гораздо легче обосновывать новые нестрогие аргументы, которые идут гораздо дальше, чем это можно было сделать раньше. Например, о поведении рациональной КТП в голографии .

Строгость — это ясность и точность, необходимые для того, чтобы видеть дальше. Как Эллис Купер только что сказал в другом месте:

Строгость очищает окно, через которое светит интуиция.

Я все еще думаю, что это не подходящее место для таких вопросов. Тем не менее, тема сама по себе интересная, и я тоже попробую. Поскольку я не философ науки и не историк (а таких людей на этом сайте, наверное, очень мало, одна из причин, по которой этот вопрос может быть неподходящим), я сосредоточусь на своей узкой области, статистической физике . .

1. Есть много. Например, удовлетворительный строгий вывод уравнения Больцмана, лучшим результатом которого и по сей день остается знаменитая теорема Лэнфорда, доказанная в конце 1970-х гг. В равновесной статистической механике одной из основных открытых проблем является доказательство того, что двумерное$O(N)$модели имеют экспоненциально затухающие корреляции при всех температурах, когда$N>2$(предположительно существует тесная связь между такими моделями и четырехмерными калибровочными моделями, и эта проблема может пролить свет на проблему асимптотической свободы в КХД, критическое обсуждение этих вопросов см. в этой статье ). Конечно, есть много других, таких как попытка понять, почему наивная перенормировка в реальном пространстве (скажем, прореживание) спиновых систем решетки дает достаточно точные результаты (хотя известно , что такие преобразования обычно плохо определены математически); но мне кажется, что это вряд ли произойдет, что не означает, что философия ренормализационной группы не может найти применения в математической физике (она уже привела к нескольким глубоким результатам).

2. Что ж, одним из важных примеров был строгий расчет Онзагером свободной энергии двумерной модели Изинга, который показал, что все схемы приближения, использовавшиеся физиками в то время, давали совершенно неверные предсказания. Строгие результаты также могут привести к (i) новым подходам к старым проблемам (это недавно произошло с SLE), (ii) новым результатам, которые не были известны физикам (это касается, например, результатов Йоханссона и др. на моделях роста), (iii) гораздо лучшему пониманию некоторых сложных явлений (например, равновесных свойств моделей Изинга с фиксированной намагниченностью), (iv) разрешению споров в физической литературе (известным примером была проблема определения нижнего критического размерность модели Изинга со случайным полем, которая горячо обсуждалась в 1980-х годах и была строго определена Брикмонтом и Купиайненом).

3. Ни один, о котором я знаю. Хотя можно сказать, что «парадоксы», выдвинутые Цермело и Лошмидтом против теории Больцмана, носили как математический характер (и, таким образом, подвергали критике явное отсутствие строгости подхода Больцмана), так и задерживали принятие его идей.

4. Не уверен насчет этого пункта. Конечно, многочисленные догадки, исходящие из физики, в частности поразительные предсказания, обеспечивают как мотивацию, так и иногда некоторую степень понимания математиков... Но я не уверен, что это то, о чем вы просите.

5. Есть много документов, обсуждающих такие вопросы, например:

• «Теоретическая математика»: на пути к культурному синтезу математики и теоретической физики , Артур Джаффе и Фрэнк Куинн, Bull.Am.Math.Soc. 29 (1993) 1-13.
• Нужна ли математическая строгость в физике? , Кевин Дэйви, Британский журнал философии науки (2003 г.), том: 54, выпуск: 3, страницы: 439–463.

и ссылки в нем.

Я ни в коем случае не могу претендовать на то, чтобы дать полный ответ на этот вопрос, но, возможно, частичный ответ лучше, чем полное отсутствие ответа.

Что касается (1), пожалуй, самым известным примером является уравнение Навье-Стокса. Мы знаем, что это дает очень хорошие результаты для моделирования потока жидкости, но мы даже не можем показать, что всегда существует решение. Действительно, за доказательство существования гладких решений на$\mathbb{R}^3$(постановка задачи здесь ).

Примером (2) является то, что изучение топологической квантовой теории поля было по крайней мере частично мотивировано математикой.

Что касается (3), я действительно не думаю, что это когда-либо случалось. Однако под этим я не подразумеваю, что требование строгости не помешает или не замедлит развитие физики, а скорее то, что чрезвычайно трудно найти пример случая, когда относительно большое сообщество просто не проигнорировало бы любое такое требование. Конечно, математически строгие формулировки часто сильно отстают от современного уровня техники в физике, но в этом нет ничего неожиданного.

В настоящее время у меня нет хороших ответов на оставшуюся часть вашего вопроса.

На эту тему есть относительно интересное эссе (К. Вафа - О будущем взаимодействия математики и физики) в Mathematics: Frontiers and Perspectives , в котором также упоминается пример TQFT.