Унитарные представления в конформной теории поля

Поэтому в настоящее время я изучаю конформную теорию поля с точки зрения теории представлений алгебр Ли. Я пытаюсь точно понять, почему мы заботимся об унитаризуемых модулях Verma. Для справки я читаю "Аффинные алгебры Ли и квантовые группы" и "Симметрии, алгебры Ли и представления". Под унитаризуемым я подразумеваю модуль, который допускает эрмитово скалярное произведение такое, что$(E_{\pm}^i)^\dagger=E_{\mp^i}$и$(H^i)^\dagger=H^i$определяет сопряженное по базису Шевалле-Серра.

Насколько я понимаю, унитарное представление$V$группы Ли$G$представление, которое допускает скалярный продукт, удовлетворяющий

$$(Uv,Uw)=(v,w)$$ для всех $v,w \in V$и $U \in G$. Это означает, что $U$является унитарным. Сейчас если $U$находится в некоторой связной компоненте тождества $G$, мы можем записать его в терминах элементов соответствующей алгебры Ли $\mathfrak{g}$с помощью экспоненциальной карты. Учитывая основу $\{J^a\}$для $\mathfrak{g}$, у нас есть $$U=\text{exp}\left(\sum_{a} \alpha_a J^a \right) \ \ \ \ \ U^{-1}=\text{exp}\left(-\sum_{a} \alpha_a J^a \right).$$ С $U$унитарна, мы можем заключить, что $(J^a)^\dagger=-J^a$. Распространение этого на комплексные алгебры Ли дает нам требуемый сопряженный базис Шевалле-Серра.

Теперь к моим вопросам. Во-первых, какое нам дело до унитарных представлений групп Ли? Во-вторых, что именно здесь является более фундаментальным; представление группы Ли или представление алгебры Ли? У меня есть проблема с тем, чтобы сказать, что они эквивалентны. Например, третья теорема Ли применима только к конечномерным алгебрам Ли (но не к алгебре Вирасоро аффинных алгебр Ли, которые очень важны в CFT). Насколько я понимаю, нас также интересуют бесконечномерные (хотя и неприводимые) представления алгебр Ли.