Самообучение реальному анализу — Дао или Рудин?

Прежде всего: не стоит бросать проблемы через 30 минут. Сделайте перерыв, попробуйте другую проблему, может быть, подождите несколько дней и попробуйте еще раз — вы получите гораздо больше от проблемы, если будете бороться и решать ее самостоятельно. Доступ к решениям может быть полезен, но вы не хотите полагаться на них. (Есть фраза, которая часто встречается: «Если вы не можете решить проблему, то есть более простая проблема, которую вы не можете решить; найдите ее»).

Baby/Blue Rudin — отличная книга для введения в основы анализа (помимо «расширенного исчисления» с одной переменной). После этого я бы предложил посмотреть серию «Лекции по анализу», написанную Элиасом Штейном и Рами Шакарчи (Стейн на самом деле был советником Терренса Тао). Эти книги охватывают вводный анализ Фурье, комплексный анализ, теорию меры и функциональный анализ. Попутно авторы знакомят вас со всеми видами всесторонних и поучительных приложений (включая УЧП, аналитическую теорию чисел, аддитивную комбинаторику и вероятность). Из всех учебников по анализу, которые я просматривал, мне кажется, что я получил больше всего от времени, проведенного с сериями Штейна и Шакарчи — эти книги познакомят вас с «более широкой картиной», которую игнорируют многие классические тексты. (хотя "

Я просмотрел части заметок Терренса Тао по анализу, и они тоже кажутся хорошим вариантом (хотя я просмотрел его заметки на уровне выпускника, я не знаю, это ли вы имеете в виду). Я всегда почерпнул много полезного из описательных материалов, написанных Тао, так что вы, вероятно, не ошибетесь с примечаниями в любом случае. Если вы чувствуете, что вам нужно больше упражнений, не бойтесь использовать несколько книг! Ношение с собой стопки книг может раздражать, но всегда полезно посмотреть, как разные авторы подходят к одной и той же теме.

Получите книгу Томаса Апостола "Математический анализ". Я готовлюсь к квалификационному экзамену по современному анализу и год назад закончила курс «детских» реалов, используя Рудина и время от времени обращаясь за помощью к Апостолу. Из нелепого набора текстов, которые я взял в библиотеке, чтобы помочь мне подготовиться к моей квалификации по анализу («Малыш» и «Мама» Рудин, Алипрантис, Фолланд, Хаазер и Салливан, Брукнер$^2$и Томсон, Ланг, Басс, Бербериан и т. д. и т. д. и т. д.) на самом деле это все еще книга Апостола, которую я изучаю больше всего — она не только охватывает все темы, которые имеют решающее значение для вводного анализа, но также имеет важные связи с современный анализ, которого нет в большинстве текстов. См., например, несколько параллельных глав об интеграции Римана и Лебега, а также естественное развитие интеграции Лебега после его главы о рядах функций.

Есть МНОЖЕСТВО примеров, контрпримеров (показывающих, ПОЧЕМУ появляются определенные теоремы) и важных для анализа тем, которым не уделяется столько внимания в других текстах, таких как подробное рассмотрение двойных рядов и дифференцирования под знаком интеграла. За крупными теоремами о сходимости и важными следствиями следуют практические примеры и упражнения с реальными функциями, а не просто «путешествие».$f_n$Рядам и интегралам Фурье посвящена даже целая глава, что-то сравнительно задвинутое в угол у Рудина.

Рудин фантастический, если вы находитесь на лекциях ИМО, но не на самообучении. Апостол, по сравнению с ним, представляет собой энциклопедический текст, у которого практически есть наставник прямо на страницах. Где-то в сети есть решения упражнений из первых восьми глав или около того; упражнения варьируются от обычных до чрезвычайно сложных.

Единственная проблема — недостаточное внимание к теории меры. Интеграл Лебега разработан, на мой взгляд, как естественное расширение теории Римана, и несколько разделов теории меры добавлены в качестве примечания в конце. Лично мне такое развитие событий не нравится, но на него стоит взглянуть, если вы никогда раньше не сталкивались с интеграцией Лебега. Кроме того, как это принято почти в любом классическом тексте по реальному анализу, избегайте последней главы (в данном случае это слишком краткое изложение Комплексного анализа).

Если вы ищете что-то более «приглушенное», но выше уровня, скажем, текстов Бартла или Лэя для старшекурсников, я бы порекомендовал «Понимание анализа» Стивена Эбботта. Это еще одна замечательная книга, в которой основное внимание уделяется идеям, которые в настоящее время помогают мне больше всего, и она гораздо более краткая, чем «Апостол». В последней главе есть материал по анализу Фурье (просто пролистайте его изображение пробки Бартла для калибровочного интеграла). В этой книге есть руководство по решению, которое вы можете заказать у автора за дополнительную плату, если свяжетесь с ним.

Наконец, я бы порекомендовал «Настоящий математический анализ» Пью. Это относительно тяжело для топологии, и задачи очень сложные (и есть одна или две странные, которые требуют таких вещей, как придумывание рифм о теоремах или что-то в этом роде), но вы изучаете много геометрии и даже получаете картинки , чтобы идти вместе с ним. Его недостаток в том, что он очень болтлив.

В общем, вы не ошибетесь, выбрав «Математический анализ» Апостола, вероятно, мою любимую книгу по математике всех времен, кроме «Комплексного анализа» Альфорса (которую вы также должны приобрести, даже если у вас нет для этого причин). . Два текста Апостола по математическому анализу являются отличными компаньонами, если вам также нужно «освежить в памяти» — это лучшие тексты по математическому анализу, когда-либо написанные, IMO, и они так естественно ведут к «Математическому анализу», что я считаю их трехтомным набором в некотором роде. .

Большую часть своего анализа я почерпнул из прекрасных томов Тао. ОП прав, что Дао начинается с определения систем счисления. Поэтому я считаю, что глава 5 или Дао равна главе 1 Рудина или что-то в этом роде.

У меня не было особых проблем с доказательствами и упражнениями для начальных глав Дао, потому что он действительно медленно развивает идеи. Так что это было хорошо. Только когда он начал заниматься топологией множества точек, мне стало тяжелее. Так что я фактически решил, что я немного больше изучу топологию Point-Set самостоятельно. Итак, я прочитал книгу Мункреса, а затем выполнил упражнения из схемы общей топологии Шаума. Это было хорошее сочетание.

После того, как я лучше разобрался со строгой топологией, у меня действительно не было проблем с дальнейшим анализом Тао. Я думаю, что я готов к анализу Тао и использую схему Шаума в Advanced Calculus и в Real Variables для решения задач. Как только я смог решить задачи в Шауме, у меня было гораздо меньше проблем с задачами в Дао. Во многих случаях проблемы были схожими.

Но именно так я к этому и подошел. Я надеюсь, что эта информация поможет другим, занимающимся Анализом. Это действительно красивая тема, и я боюсь, что люди часто приходят в ярость от заявлений о ее сложности.

На самом деле я изучаю анализ для своего колледжа, используя ребенка Рудина в качестве первого справочника, но я выбрал другую книгу в качестве дополнения, например, сейчас смотрю книгу С. Берберяна (pdf-версия) в качестве хорошей поддержки [ http: // www.amazon.com/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801] . Я просто не могу найти решения...

Личное мнение: Вам обязательно стоит пойти с книгами Тао!

Как уже упоминали другие, если вы это сделаете, вы должны быть готовы потратить больше часа на отдельные упражнения, поскольку некоторые из них весьма нетривиальны (излишне говорить, что отдача огромна).

Если вы решили проблему самостоятельно и хотите проверить свое решение, то некоторые из решений уже доступны для книг Теренса Тао по состоянию на 2021 год. Вы можете ознакомиться с ними по этой ссылке.