Учебники по алгебре для средней школы для одаренных учеников

Опубликовано на Stack Exchange преподавателей математики. ( ссылка )

Я ищу учебники по алгебре/математике для старших классов, предназначенные для талантливых учеников, в качестве подготовки к полностью строгому исчислению а-ля Спивак. Меня интересуют лучшие материалы, доступные на английском, французском, немецком или иврите.

В идеале книга(и) должна давать всестороннее введение в алгебру на этом уровне, начиная с самых основных операций с полиномами. Он должен включать необходимую теорию (например, теорему Безу об остатках для многочленов, доказательство основной теоремы арифметики, алгоритм Евклида, более честное обсуждение действительных чисел, чем обычно, доказательства свойств рациональных показателей и т. что все утверждения должны быть доказаны, за немногими исключениями). В нем также должны быть задачи, начиная от упражнений, знакомящих учащихся с основными алгебраическими действиями над многочленами, и заканчивая гораздо более сложными.

Конкретно ищу что-то похожее по духу на серию прекрасных русских книг Виленкина для учащихся так называемых "математических школ" с 8 по 11 класс, хотя ищу только аналог книг для 8 и 9 класса , которые находятся на уровне предварительного исчисления. Чтобы дать вам представление, вот пример типичных задач из учебника для 8-го класса.

1. Выполните указанные операции.$\frac{3p^2mq}{2a^2 b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2 y^2} : \frac{9a^2 b^2 c^3}{28pxy}$

2. Докажите, что когда$a \ne 0$, многочлен$x^{2n} + a^{2n}$не делится ни на$x + a$ни по$x - a$.

3. Докажите, что если$a + b + c = 0$, затем$a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c) (b + c) = 0$.

4. Докажите, что если$a > 1$, затем$a^4 + 4$является составным числом.

5. Докажите, что если$n$является относительно простым для$6$, затем$n^2 - 1$делится на 24.

6. Упрощать$\sqrt{36x^2}$.

7. Упрощать$\sqrt{12 + \sqrt{63}}$.

8. Докажите, что разность корней уравнения$5x^2 -2(5a + 3)x + 5a^2 + 6a + 1 = 0$не зависит от$a$.

9. Решите неравенство$|x - 6| \leq |x^2 - 5x + 2|$.

А вот и названия глав для книг для 8 и 9 классов.

8 класс: Дроби. Полиномы. Делимость; простые и составные числа. Вещественные числа. Квадратные уравнения; системы нелинейных уравнений; разрешение неравенств.

9 класс: Элементы теории множеств. Функции. Силы и корни. Уравнения и неравенства и их системы. Последовательности. Элементы тригонометрии. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

В целом аналогичные вопросы задавались в других местах, однако сделанные там предложения не удовлетворяют мои цели.

1. Английские переводы книг Гельфанда хороши; однако они не являются достаточно широким введением в алгебру средней школы и не содержат достаточно материала по вычислительной технике. Они больше носят характер дополнений к обычному учебнику.

2. Были предложены некоторые книги 19 века, такие как Холл и Найт. На концептуальном материале они, как правило, слишком стары по языку и мировоззрению.

3. «Основная математика» Сержа Ланга, кажется, больше касается различных тем, чем дает подробное введение в алгебру.

4. Я не склонен к книгам с очень сильной «новой математикой» (например, Франция 1971-1983 гг.). Я не думаю, что студент должен понимать группу аффинных преобразований$\mathbb{R}$знать, что такое линия.

Кроме того, предыдущие вопросы, возможно, косвенно касались материала на английском языке. Я имею в виду студента, который также может легко читать по-французски, по-немецки или по-еврейски, если на этих языках можно найти что-то получше.

Редактировать. Я хотел бы уточнить, что я не прошу что-то идентичное этим книгам, просто что-то максимально близкое к их духу. По сути, это означает: 1. Он является заменой, а не дополнением к обычному школьному учебнику по алгебре. 2. Направлена ​​на наиболее способных учащихся. 3. Он передает сообщение о том, что доказательства и творческое решение задач занимают центральное место в математике.