Существует ли соответствие 1-1 между симметрией и теорией групп?

Профессор в моем классе математической физики вводит определение групп и говорит, что теория групп — это математика симметрии.

Он также привел несколько примеров таких групп, как набор всех действительных чисел при сложении.

Мой вопрос заключается в том, о какой симметрии мы здесь говорим, когда рассматриваем множество всех действительных чисел при сложении?

Действительно, теория групп — это математический язык симметрии. Вот ссылка на хорошую статью под названием «Симметрия в физике: наследие Вигнера» jptp.uni-bayreuth.de/vorlesungen/symmetry.pdf Она была написана в 1995 году лауреатом Нобелевской премии Дэвидом Гроссом.

Ответы (2)

  1. С одной стороны, группа г чисто математическое понятие.

  2. С другой стороны, при заданной системе С на котором группа г действует г × С → С . Система С то представляет собой (возможно, нелинейно реализованное) представление группы г . Система С может в некоторых случаях быть инвариантной относительно группового действия, и в таких случаях говорят, что система С обладает г - симметрия .

  3. В физике С является типичным набором уравнений или действием (не путать с понятием группового действия ).

  4. Абелева группа г "=" ( р , + ) что упоминает OP, реализовано во многих физических системах. Это может быть трансляционная симметрия физической системы в заданном направлении, как пишет в комментарии Максим Жолудев. Но это лишь одна из многих возможностей, и между группами и симметриями нет однозначного соответствия в строгом математическом смысле.

  5. Наконец, обратите внимание, что понятие группы г может быть ослаблен/обобщен несколькими способами, например, до группоида .

Позвольте мне проверить, правильно ли я понимаю: Итак, группа г не отождествляется с симметрией, если элементы группы не оставляют неизменную систему, верно?. Кто такой ОП?. В случае когда г является трансляционной симметрией физической системы в заданном направлении, каковы представления элементов группы в этом случае? и какая величина будет инвариантной относительно переноса системы? (всякий раз, когда упоминается слово «симметрия», я пытаюсь думать о величине, остающейся неизменной под действием групповых элементов, подобно равностороннему треугольнику при вращении на н × 120 градусов)
Итак, теперь вы должны поговорить о различии между фактическими симметриями, например, о симметрии круга, когда группа Z н действует вращениями или группой диэдра, действующей на правильный n-угольник (отражения, вращения), с калибровочными преобразованиями , которые говорят об уравнениях и их решениях (яркий пример - электродинамика). А «OP» означает оригинальный постер.

Существует взаимно однозначное соответствие между симметрией и теорией групп по той простой причине, что если А — симметрия, а В — симметрия, то то же самое имеет В, за которым следует А. Это означает, что симметрии образуют группу, где групповой закон — это композиция карт (симметрия есть карта).

Перевод вдоль вещественной оси является физической симметрией перевода времени. Как указывал Винер, важным фактом является то, что если мы начнем эксперимент вовремя т "=" 0 и измерял результаты во времени т "=" 4 , ответы будут физически такими же, как если бы мы начали эксперимент в момент т "=" 21 и измерял результаты во времени т "=" 25 .

Вот почему полезен анализ Фурье... всякий раз, когда у вас есть группа симметрии, представления этой группы полезны. Представления группы переводов являются экспоненциальными функциями, поэтому полезен анализ Фурье, разложение произвольной функции на комбинации различных экспоненциальных функций.

Существует ли соответствие 1-1 между симметрией и теорией групп?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v