Синхронизация часов и специальная теория относительности

Затем часы синхронизируются со временем$t_0$[...]

Какие часы и в какой оправе? Вы всегда должны помнить, что синхронизация часов, находящихся в разных точках пространства, зависит от кадра. Я предполагаю, что вы имеете в виду, что часы$A$и$B$синхронизируются в оставшемся кадре в$A$(или$B$), и что часы на космическом корабле синхронизированы с часами$A$как он проходит мимо. Однако обратите внимание, что в этом случае часы в$B$не будут синхронизированы с остальными в остальной части корабля.

Когда космический корабль встречается с B, первый сценарий показывает, что стержневые часы показывают большее значение времени, чем часы космического корабля, а второй сценарий показывает обратное. Оба не могут быть правдой, потому что одно должно произойти, когда Б и космический корабль встречаются.

The $t_2$на который вы ссылаетесь в своем первом сценарии, отличается от$t_2$в вашем втором сценарии. В первом случае по часам в$B$, корабль прибывает в$B$вовремя$t_2 = L/u$, где$L$это расстояние между$A$и$B$в системе покоя наблюдателя на$B$. Судовые часы показывают$T = t_2/\gamma = L/u\gamma$, где$\gamma = (1-u^2/c^2)^{-1/2}$.

Во втором сценарии наблюдатель на корабле видит, что длина стержня уменьшилась, а видимая длина$L' = L/\gamma$. Соответственно, точка$B$достигает корабля, когда судовые часы показывают$T=L'/u = L/u\gamma$, в соответствии с предыдущим расчетом.

Кроме того, во втором сценарии часы в$B$никогда не синхронизировался с часами на корабле. Позволять$(x',t')$— координаты в системе координат корабля и$(x,t)$быть координатами в системе координат Земли с центром в часах$A$. Событие$(x,t)=(x',t')=(0,0)$соответствует часам прохождения корабля$A$. Согласно уравнениям преобразования Лоренца,

$$t' = \gamma\left(t-\frac{ux}{c^2}\right)$$ Когда корабль проходит часы$A$, то судовые часы показывают$t'=0$, и часы$A$(который сидит на$x=0$) также читается$t=0$. Тем не менее, часы$B$сидит в$x=L$, Который означает, что $$t - \frac{uL}{c^2} = 0 \implies t = \frac{uL}{c^2}$$ Другими словами, часы$B$начинается со смещения$uL/c^2$по словам наблюдателя на корабле.

Имея это в виду, релятивист, едущий на корабле, должен признать, что, когда он достигает часов$B$, тогда будет читаться

$$t_2 =T/\gamma + \frac{uL}{c^2}=\frac{L}{u\gamma^2} + \frac{uL}{c^2} = \frac{L}{u}\left(\frac{1}{\gamma^2} +\frac{u^2}{c^2}\right) = \frac{L}{u}$$ где первый член — это показание корабельных часов, деленное на$\gamma$(из-за замедления времени), а второй член - это начальное смещение на часах$B$. Это полностью согласуется с нашими предыдущими расчетами, как и ожидалось.

---

«Однако обратите внимание, что в этом случае часы в B не будут синхронизированы с часами на корабле». Боюсь, я этого не понимаю; поскольку A синхронизирован с B, а часы корабля синхронизированы с A, то почему эти три часа не синхронизированы?

Это довольно тонкий момент, который заслуживает некоторого уточнения. Система отсчета может быть понята как воображаемая решетка мерных палочек с часами, сидящими в каждой точке. События маркируются по положению$x$где они происходят и время$t$ как читается на часах, которые сидят на$x$. Это очень важно - время события является локальным .

В принципе, часы, находящиеся в каждой точке сетки, не имеют ничего общего друг с другом. Чтобы создать разумную систему отсчета, мы должны каким-то образом синхронизировать их, например, посредством синхронизации Эйнштейна . Однако теперь мы можем представить, что второй наблюдатель, движущийся относительно нас, имеет свою собственную систему отсчета. Ключевое понимание специальной теории относительности заключается в том, что если и мы, и движущийся наблюдатель синхронизируем нашу соответствующую систему часов, то каждый из них будет наблюдать, что часы другого не синхронизированы.

Конкретное отношение между нашими системами отсчета задается уравнениями преобразования Лоренца. Пусть мои координаты будут$(x,t)$а координаты движущегося наблюдателя равны$(x',t')$; затем

$$x' = \gamma\big(x-ct\big)$$ $$t' = \gamma\big(t - \frac{vx}{c^2}\big)$$

Рассмотрим два события — первое происходит в$x=0$и$t=0$, а второе происходит в$x=L$и$t=0$. То есть координаты, которые я присваиваю первому событию,$(0,0$), а координаты, которые я присваиваю второму событию,$(L,0)$. Координаты, которые движущийся наблюдатель присваивает первому событию, также $(0,0)$, но координаты, которые они приписывают второму событию,

$$x' = \gamma L$$ $$t' = -\gamma \frac{vL}{c^2}$$

Поэтому, хотя я бы сказал, что эти два события одновременны (оба происходят в$t=0$), движущийся наблюдатель скажет, что это не так (один происходит в$t'=0$, а другой на$t' = -\gamma vL/c^2$).

В соответствии с вашим первоначальным вопросом, пусть первое событие в$(0,0)$быть "корабль проходит часы в$A$когда часы$A$читает 0", а второе событие - "часы$B$читает 0." В моем кадре (остальный кадр на часах$A$), эти два события одновременны; потому что часы$A$и$B$читать ноль при этом, я говорю они синхронизированы. Однако, по мнению движущегося наблюдателя, событие "часы$B$читает 0" происходит в$t'=-\gamma vL/c^2\neq 0$, что означает, что часы в$B$не синхронизированы с корабельными часами в их кадре.

Что не так?

Почти всегда в специальной теории относительности проблема возникает из-за того, что забывают об относительности одновременности.

В этом случае в кадре корабля, когда корабль проходит рядом с часами A и устанавливает свои часы на 0, часы B не устанавливаются на 0. Вместо этого (в натуральных единицах) время в кадре корабля, когда B читает 0, равно:

$$t_B=-\frac{v \ x_B}{\sqrt{1-v^2}}$$

Если вы объедините это смещение с замедлением времени, вы получите правильный вывод о том, что оба кадра совпадают. Время, показанное на часах космического корабля, меньше, чем время, показанное на стержневых часах в точке B, согласно обоим кадрам.

Предположим, что эксперимент начинается в 12 часов по трем часам и что относительные скорости таковы, что, когда космический корабль достигает другого конца стержня, часы в точке В на стержне показывают 12:11, а часы на космическом корабле показывает 12:10.

Итак, согласно часам на стержне, за время, за которое космический корабль переместился между одним концом стержня и другим, прошло 11 минут, а часы на космическом корабле говорят, что прошло всего 10 минут.

Однако в кадре космического корабля было только 11:59 на дальнем конце стержня, когда космический корабль покинул А, и в это время в раме космического корабля часы в точке В на стержне показывали 12:01. Таким образом, с точки зрения космического корабля, часам на стержне B потребовалось 11 минут, чтобы добраться до корабля, в то время как часы на стержне B сдвинулись всего на десять минут.

Таким образом, вы увидите, что появление замедления времени полностью взаимно, и в данном случае оно возникает из-за того, что часы в точке В на стержне не синхронизированы с местным временем космического корабля.

В более общем смысле замедление времени возникает из-за того, что плоскости постоянного времени в одной системе отсчета наклонены по сравнению с плоскостями постоянного времени в любой другой движущейся системе отсчета. Это означает, что вы можете синхронизировать часы между двумя кадрами только в одной точке — чем дальше вы отходите от этой точки, тем сильнее рассинхронизируются часы в двух кадрах.

Вы можете создать эффект замедления времени довольно просто. Представьте себе, что вы идете со скоростью 1 м/с по коридору, в котором люди с интервалом в 10 м держат часы, и часы настроены так, что каждые часы в коридоре опережают часы впереди на 1 с. Когда вы проходите первые часы, они установлены на 12:00, как и ваши часы. Через десять секунд вы прошли 10 м и подошли к следующим часам. На ваших часах указано 12:00:10, но часы показывают 12:00:11, потому что они идут на секунду вперед. Вы проходите еще 10 м и встречаете следующие часы. Теперь ваши часы показывают 12:00:20, в то время как часы, которых вы только что достигли, показывают 12:00:22, потому что они установлены на секунду раньше предыдущего. Пройдя еще 10 м, вы встречаете другие часы, которые показывают 12:00:33, а ваши часы теперь показывают 12:00:30.

Вы увидите, что ваши часы кажутся медленными, когда вы сравниваете их показания с часами, которые вы проходите мимо, но на самом деле ваши часы и часы идут с одинаковой скоростью — видимость замедления времени возникает из-за того, что все часы рассинхронизированы друг с другом .

Теперь предположим, что позади вас с интервалом в 10 м идут люди, носящие часы, настроенные таким образом, что каждый из них на 1 секунду опережает часы перед ним в очереди. Представьте, как на этих гуляющих людей с часами смотрит первый из неподвижных людей с часами в руках. В 12:00:00 вы проходите, а на ваших часах показывается 12:00:00. Через десять секунд следующий прохожий в очереди проходит мимо, и на его часах показывается 12:00:11. Еще через десять секунд проходит другой пешеход с 12:00:22 на их часах. Десять секунд спустя мимо проходит другой пешеход с 12:00:33 на его часах, в то время как на часах только 12:00:30. Видимость замедления времени, таким образом, полностью взаимна: неподвижный человек видит, что его часы отстают по сравнению с проходящими часами.Обе группы людей — те, кто ходит с часами, и те, кто стоит с часами в руках — думают, что их часы отстают (т. е. замедляются) по сравнению с часами, мимо которых они проходят, хотя все часы тикают с одинаковой скоростью. Эффект замедления времени возникает не потому, что часы замедляют свой ход, а потому, что время в одном кадре не синхронизировано со временем в другом.