Скаляр Риччи для черной дыры

Если мы хотим быть формальными, в$r=0$существует многообразная сингулярность. Таким образом, никакие тензорные/скалярные величины там не определены (т.е. наш математический формализм там не работает). С другой стороны, как физики, мы можем искать разные примеры, которые ведут себя подобным образом. Также (классическое) электромагнитное поле, создаваемое точечной заряженной частицей, расходится как$r \rightarrow 0$. Однако есть тонкое различие: поле может быть плохо определено в одной точке без особых проблем, ибо гравитация плохо определена как само пространство-время, так что вся физика становится жесткой (обычно физика математически кодируется функциями положения и времени).

Были попытки математически формализовать этот вопрос. В электродинамике мы изучаем распределение (дельты Дирака) зарядов, почему мы не можем использовать их в гравитации? Исходя из уравнений Эйнштейна ($G=c=1$,$\Lambda=0$)

$$R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=8\pi \ T_{ij},$$ и умножая их на $g^{ij}$вы получаете уравнение для скаляра Риччи $$R=-8\pi\,T$$ где $T$является следом тензора энергии-импульса. Так, если дело сосредоточено только в $r=0$вы ожидаете, что распределительное количество, описывающее $T$и поэтому $R$.

В литературе можно найти такой подход: например, в этой статье Распределительная природа тензора энергии-импульса черной дыры или Что изгибает геометрию Шварцшильда? Х. Баласин и Х. Нахбагауэр.

Они обнаружили, что для шварцшильдовской черной дыры с массой$M$, тензор Риччи должен иметь вид

$$R = 8 \pi \, M\, \delta^{(3)}(x)$$ где $x$положение в пространстве-времени и $\delta^{(3)}$есть дельта-функция Дирака в пространстве, а именно нуль везде, кроме $r=0$. Если бы это было в плоском пространстве-времени, дельту можно было бы определить также как $\bigtriangleup\left(1/r\right)=\bigtriangledown^{2}\left(1/r\right)=\delta^{\left(3\right)}\left(x\right)$, но я не уверен в общем случае.

Но мы должны быть очень осторожны с этим дистрибутивным подходом, поскольку в сингулярности мы не знаем, что такое пространство-время физически, и математическая теория, стоящая за этим, насколько мне известно, для псевдоримановых геометрий не является твердой . , еще.

Это зависит от того, как вы проводите анализ. Если вы проводите его в пространстве-времени Крускала, что является более физическим способом, трудно говорить о том, что».$r = 0$", и вопрос становится несколько некорректным.

Если вы наивно сделаете это в координатах Шварцшильда, вы обнаружите, что$R$имеет термины, включающие константы, умноженные$\nabla^{2}\frac{1}{r}$, которые, как покажет анализ, например, в книге Джексона по электродинамике, пропорциональны$\delta^{3}(\vec{r})$. Так что, я думаю, это зависит от того, о чем вы говорите. Но, конечно, не безумие думать, что масса сжимается в область бесконечной плотности, что должно произойти, когда вы наклеиваете распределение материи в чем-то вроде решения Оппенгеймера-Снайдера «коллапс пылевой звезды» на решение Шварцшильда после коллапса. завершено.

Когда вы решаете уравнения Эйнштейна, чтобы найти черную дыру, тензор энергии-импульса обращается в нуль везде, даже при$r = 0$. Ни в коем случае вы не навязываете, что это точечный источник$T_{\mu\nu} \sim \delta(r)$, это изменит решение. Интерпретация решения как черной дыры с центральной сингулярностью достигается путем изучения свойств пространства-времени, которые вы получаете после решения уравнений. Следовательно, в этом пространстве-времени на самом деле ничего нет. Вспомните, что вы не помещали материю в свое пространство-время, так что нет ничего, что могло бы дать массу/энергию, кроме самого гравитационного поля (чей «тензор» энергии-импульса скрыт в$G_{\mu\nu}$).

Чтобы сделать вывод,$R = 0$везде и в частности в$r = 0$: вот почему нужно обратить внимание на более сложный инвариант Кречмана, чтобы найти особенность.