Скалярный трехточечный интеграл AdS/CFT от параметризации Фейнмана?

Несколько месяцев назад мне также понадобился результат вычисления трехточечной контактной диаграммы Виттена Фридмана, Матура, Матусиса и Растелли. Я также был ошеломлен отсутствием подробностей в их статье, поскольку все, что они сказали, было «это легко сделать с помощью обычных методов параметров Фейнмана». Так что я придумал свой собственный вывод. Вероятно, это не то, что имел в виду FMMR, и не самый элегантный подход, но он выполняет свою работу и является математически строгим. Это происходит следующим образом.

Позволять

$$U:=\int_{0}^{\infty}dz_0\int_{\mathbb{R}^d} dz\ \frac{z_0^a}{(z_0^2+(z-x)^2)^b(z_0^2+(z-y)^2)^c}\ .$$ Предполагая $b,c>0$, мы вставляем тождество $\frac{1}{A^\alpha}=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}ds\ s^{\alpha-1} e^{-sA}$дважды, чтобы получить $$U=\frac{1}{\Gamma(b)\Gamma(c)}\int_{0}^{\infty}dz_0\int_{\mathbb{R}^d} dz \int_{0}^{\infty}ds \int_{0}^{\infty}dt\ z_0^a s^{b-1}t^{c-1}\exp(-V_1)$$ с $$V_1:=s(z_0^2+(z-x)^2)+t(z_0^2+(z-y)^2)$$ $$=s(z_0^2+x^2)+t(z_0^2+y^2)+(s+t)z^2-2(sx+ty)z\ .$$ Таким образом $$\int_{\mathbb{R}^d} dz\ \exp(-V_1)=e^{-s(z_0^2+x^2)-t(z_0^2+y^2)} \int_{\mathbb{R}^d} dz\ \exp \left( -(s+t) \left( z-\frac{sx+ty}{s+t} \right)^2 +\frac{(sx+ty)^2}{s+t} \right)$$ $$=\exp(V_2) \times\left(\frac{\pi}{s+t}\right)^{\frac{d}{2}}$$ с $$V_2:=\frac{(sx+ty)^2}{s+t}-s(z_0^2+x^2)-t(z_0^2+y^2)\ ,$$ и после вычисления интеграла Гаусса на $z$. Немного алгебры показывает $$(s+t)V_2=-(s+t)^2z_0^2-st(x-y)^2\ .$$ Подключение обратно к $U$мы получаем $$U=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}}{\Gamma(b)\Gamma(c)} \int_{0}^{\infty}dz_0\int_{0}^{\infty}ds\int_{0}^{\infty}dt\ z_0^{a}s^{b-1}t^{c-1}(s+t)^{-\frac{d}{2}}\exp\left( \frac{-(s+t)^2z_0^2-st(x-y)^2}{s+t} \right)\ .$$ Изменить переменные из $z_0$к $z_0^2$и проинтегрировать по последнему. Предоставил $a>-1$, теперь получаем $$U=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{2\Gamma(b)\Gamma(c)} \int_{0}^{\infty}ds\int_{0}^{\infty}dt\ s^{b-1}t^{c-1}(s+t)^{-\frac{a+1+d}{2}}\exp\left( -\frac{st}{s+t}(x-y)^2 \right)\ .$$ Изменить переменные: ${\rm old}\ s=\frac{1}{(x-y)^2}\times\ {\rm new}\ s$и ${\rm old}\ t=\frac{1}{(x-y)^2}\times\ {\rm new}\ t$. Следовательно, $$U=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{2\Gamma(b)\Gamma(c)}\times |x-y|^{a+1+d-2b-2c} \times W$$ с $$W:=\int_{0}^{\infty}ds\int_{0}^{\infty}dt\ s^{b-1}t^{c-1}(s+t)^{-\frac{a+1+d}{2}}\exp\left( -\frac{st}{s+t} \right)\ .$$ Мы используем двумерную формулу замены переменной для интегрирования по $0<u<\infty$и $0<v<1$связанные со старыми переменными $$\left(\begin{array}{c}s \\ t\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} vu \\ (1-v)u\end{array}\right)\ .$$ Якобиан $$\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial s}{\partial u} & \frac{\partial s}{\partial v} \\ \frac{\partial t}{\partial u} & \frac{\partial t}{\partial v}\end{array}\right|=-u\ .$$ Как результат $$W=\int_{0}^{\infty}du\int_{0}^{1}dv\ v^{b-1}(1-v)^{c-1}u^{-\frac{a+d+1}{2}+b+c-1}\ \exp[-uv(1-v)]\ .$$ Предоставил $-\frac{a+d+1}{2}+b+c>0$, мы можем интегрировать на $u$так что $$W=\Gamma\left(-\frac{a+d+1}{2}+b+c\right)\times \int_{0}^{1}dv\ v^{\frac{a+d+1}{2}-c-1}(1-v)^{\frac{a+d+1}{2}-b-1}\ .$$ Конечно, последний бета-интеграл дает отношение гамма-функций, поэтому во всех $$U:=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}}{2}|x-y|^{a+1+d-2b-2c} \frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)\Gamma\left(-\frac{a+d+1}{2}+b+c\right) \Gamma\left(\frac{a+d+1}{2}-c\right)\Gamma\left(\frac{a+d+1}{2}-b\right)}{\Gamma\left(b\right)\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(a+d+1-b-c\right)}$$ что справедливо, когда все аргументы гамма-функции положительны (или комплексны с положительной вещественной частью). Чтобы увидеть, что эти ограничения не противоречат друг другу, лучше переключиться на более симметричные переменные размерности масштабирования. $$\left\{\begin{array}{ccl} \Delta_1 & = & b \\ \Delta_2 & = & c \\ \Delta_3 & = & a+d+1-b-c \end{array} \right.$$ Ограничения составляют $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$длины невырожденного достаточно большого треугольника, т. е. $\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3>d$.

Я должен также упомянуть, что существуют более сложные методы вычисления диаграмм Виттена. См., например, лекции Пенедонеса по ТАСИ .