Сколько времени требуется для оптимального изменения положения и скорости?

Космический корабль, движущийся в двух измерениях, находится в положении ( Икс , у ) и имеет скорость ( в Икс , в у ) . Он также имеет максимальное ускорение а м а Икс . Его цель - быть на позиции ( Икс ′ , у ′ ) со скоростью ( в Икс ′ , у Икс ′ ) . Какой путь занимает наименьшее количество времени?

Я вижу, что задачу можно свести к космическому кораблю на ( 0 , 0 ) со скоростью ( 0 , 0 ) , пытаясь перехватить объект, находящийся в данный момент ( Икс ′ − Икс , у ′ − у ) со скоростью ( в Икс ′ − в Икс , у Икс ′ − у Икс ) .

У меня есть предчувствие, что оптимальным путем всегда будет постоянное ускорение в одном направлении, возможно, с разворотом где-нибудь по пути.

Мне любопытно, потому что я считаю, что общее время будет последовательной и допустимой эвристикой для ньютоновского алгоритма поиска пути, учитывающего скорость.

Уточнение

Дополнительных ограничений нет. Проблема в том, чтобы минимизировать время, а не экономить Δ в .

Связанная 1D-задача: physics.stackexchange.com/q/19720/2451
Связанный пост, также в 1D, physics.stackexchange.com/q/122273

Ответы (2)

Я помню, что для такого рода задач можно использовать множитель Лагранжа . Сам я им мало пользовался, поэтому не буду пытаться объяснять его с теоретической точки зрения.

Короче говоря, это метод нахождения локальных максимумов/минимумов для данной функции при некоторых ограничениях.

Этот метод даст вам решение, но вам нужно будет прочитать, как его использовать. В качестве альтернативы вы можете попытаться найти несколько примеров, теперь, когда вы знаете, как это называется, вероятно, будет что-то похожее на вашу проблему с космическим кораблем.

Удачи!

РЕДАКТИРОВАТЬ :

Посмотрите статью о кривой брахистохроны . Это применение метода Лагранжа к классу задач, который похож на ваш.

Ваша догадка верна. Оптимальное решение – ускорение на а м а Икс с последующим замедлением. Правильное соотношение (и направление) этих двух параметров зависит от относительных начальной и конечной скоростей.

Для одномерного случая с изменением скорости от в я к в ф , с позиции Икс я к Икс ф , ускорение для т 1 и замедление для т 2 . Вы можете вывести следующие уравнения.

в ф "=" в я + а ( т 1 − т 2 )
Икс ф "=" Икс я + в я ( т 1 + т 2 ) + 1 2 а ( т 1 2 − т 2 2 ) + а т 1 т 2

Это два уравнения с двумя неизвестными, и вы можете решить для т 1 и т 2 .

Если вы также меняете направление (так что на самом деле это проблема 2D, как вы даете), это немного сложнее, так как вы также должны оптимизировать направление тяги, но все же применяются те же принципы.

В качестве примечания настоящие космические корабли, как правило, не делают этого, поскольку они не являются самыми экономичными, что вызывает большую озабоченность у космических кораблей.     

Спасибо за ваш ответ! У меня возникли проблемы с выводом второго уравнения. я так чувствую Икс ф не может быть независимым от в я . Я получаю Икс ф "=" Икс я + в я ( т 1 + т 2 ) + 1 2 а ( т 1 2 − т 2 2 ) + а т 1 т 2 .
да вы правы. Я не обращал внимания, отредактирую свой ответ
Я не уверен, что это будет оптимальное решение, поскольку вы оба не даете критериев оптимального решения и не доказываете, что они выполняются. Мне постоянное использование максимального ускорения не кажется оптимальным. Например, когда обе скорости (близки) к нулю, и вам нужно преодолеть только определенное расстояние, то мне кажется, что приложения очень небольшого начального импульса в начале и в конце было бы достаточно (при использовании этого общего вытесненного Δ в будет функция стоимости).
Спасибо за комментарий и ссылку на вопрос. Я уточнил описание проблемы. Цель состоит в том, чтобы найти путь, который занимает наименьшее количество времени. Δ в не является частью функции затрат.
Сколько времени требуется для оптимального изменения положения и скорости?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v