Слабое решение уравнения Шрёдингера

Question

Слабое решение уравнения Шрёдингера

амид

Рассмотрим частицу в ящике $\Lambda = [0, L]$ . Волновая функция $\psi \in L_D^2(\Lambda)$ где $D$ обозначает условие Дирихле $\psi(0)=0=\psi(L)$ . У нас есть, то

- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{д^{2} ψ}{д {Икс}^{2}} "=" Е ψ

$- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E \psi$

внутри коробки. Решая это уравнение,

ψ_{м} (Икс) "=" \sqrt{2 / л} грех (н π Икс / л) .

$\psi_{m}(x) = \sqrt{2/L} \sin(n\pi x/L).$

Теперь рассмотрим слабую формулировку этой задачи:

\frac{ℏ^{2}}{2 м} \int_{0}^{л} \frac{д ψ}{д Икс} \frac{д ф}{д Икс} д Икс "=" Е \int_{0}^{л} ψ ф д Икс

$\frac{\hbar^{2}}{2m} \int_{0}^{L} \frac{d\psi}{dx} \frac{d\varphi}{dx} dx = E \int_{0}^L \psi \varphi dx$

так что $\varphi \in H^1_0(\Lambda)$ . Можно ли найти аналитическое решение этого уравнения? Если да, то как вообще можно переходить к поиску решений слабых формулировок?

Вальтер Моретти

Что ты имеешь в виду

L_{D}^{2} (Λ)

$L^2_D(\Lambda)$ ? Отличается ли он от

L^{2} (Λ)

$L^2(\Lambda)$ ? Граничные условия не меняют гильбертово пространство...

амид

Просто волновая функция находится в

L^{2} (Λ)

$L^2(\Lambda)$ и

ψ

$\psi$ имеет условия Дирихле

ψ (0) = 0 = ψ (L)

$\psi(0)=0=\psi(L)$ . Так что я просто говорю, что

ψ

$\psi$ в

L^{2}

$L^{2}$ в интервале

Λ

$\Lambda$ и

ψ (0) = 0 = ψ (L)

$\psi(0)=0=\psi(L)$ .

Вальтер Моретти

С

ψ

$\psi$ определяется с точностью до нуля, множество это не имеет большого значения. Не существует гильбертова пространства, состоящего из функций, обращающихся в нуль на границе интервала. Вместо этого можно использовать граничные условия для определения области вашего гамильтониана...

Ответы (1)

Слабое решение уравнения Шрёдингера

Что ты имеешь в виду $L^2_D(\Lambda)$ ? Отличается ли он от $L^2(\Lambda)$ ? Граничные условия не меняют гильбертово пространство...
Просто волновая функция находится в $L^2(\Lambda)$ и $\psi$ имеет условия Дирихле $\psi(0)=0=\psi(L)$ . Так что я просто говорю, что $\psi$ в $L^{2}$ в интервале $\Lambda$ и $\psi(0)=0=\psi(L)$ .
С $\psi$ определяется с точностью до нуля, множество это не имеет большого значения. Не существует гильбертова пространства, состоящего из функций, обращающихся в нуль на границе интервала. Вместо этого можно использовать граничные условия для определения области вашего гамильтониана...

Вальтер Моретти · Answer 1

Эллиптическая регулярность означает, что $\psi$ допускает слабые производные любого порядка, которые $L^2$ локально. Теперь из леммы Соболева следует, что эти производные должны быть стандартными производными. Таким образом, каждое слабое решение — это просто стандартное решение. $\psi_m$ .

Но что, если у моей проблемы есть только слабые решения, и я получаю подобную слабую формулировку? Можно ли решить такие задачи аналитически?
Обычно решения бывают слабыми только потому, что область определения операторов не состоит из гладких функций, когда они берутся самосопряженными. Однако если потенциал относительно регулярен, то известны результаты (по сути, теорема Вейля), устанавливающие гладкость волновых функций вне множества особенностей потенциала.
@Вальтер Моретти: Не могли бы вы опубликовать ссылку на эту теорему, пожалуйста? Я нашел только один для уравнения Лапласа.

Слабое решение уравнения Шрёдингера

амид

Вальтер Моретти

амид

Вальтер Моретти

Ответы (1)

Вальтер Моретти

амид

Вальтер Моретти

пользователь510186

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Полнота собственных функций энергии

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Нормализация волновой функции свободной частицы

Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Почему собственные энергетические состояния должны быть ограничены?