След и присоединенное представление SU(N)SU(N)SU(N)

Известно, что для элемента$U$группы в матричном смысле:

$$Ad_Ux=UxU^{-1}.\,\,(1)$$ Теперь заметим, что целевое пространство присоединенного представления охватывается $N^2-1$бесследовые матрицы $t_a$. Итак, если мы добавим единичную матрицу, мы получим полный базис в $\mathrm{Mat}_N(\mathbb{C})$. Теперь заметим, что присоединенное действие тривиально распространяется на это пространство, так что я могу написать: $$Tr_{su(N)}(Ad_U)=Tr_{\mathrm{Mat}_N(\mathbb{C})}(Ad_U)-1,$$ куда $su(N)$есть пространство бесследных эрмитовых матриц. Это верно, так как единичная матрица принимается за единицу для этого оператора. Теперь, используя (1), мы видим, что $$Tr_{\mathrm{Mat}_N(\mathbb{C})}(Ad_U)=Tr(U)Tr(U^{-1}),$$ наконец достигнув $$Tr (Ad_U)=Tr(U)Tr(U^{-1})-1.$$ Например, возьмите $U=I$, а затем след слева $N^2-1$размер присоединенного представителя, а следы справа $N$размерность фундаментальной респ. Думаю, эта формула известна.

Это очень полезно здесь, потому что связывает следы вашего вида со следами в фундаментальном представлении, которые легко вычисляются с помощью аргумента, который приводит Джошуа.

Брать$U=\prod_i \exp(t^a\alpha_a^i)$, за$\alpha_a^i$произвольный набор чисел ($i=1..3$, Например). затем$Ad_U=\prod_i \exp(ad(t^a)\alpha_a^i)$. Теперь я расширяю нашу формулу в степенях$\alpha$, и я хочу изучить$\alpha_{a}^1\alpha_{b}^2\alpha_{c}^3$срок ($\alpha^i=t^a\alpha^i_a)$:

$$Tr(ad(\alpha^1)ad(\alpha^2)ad(\alpha^3))=Tr(\alpha^1\alpha^2\alpha^3)Tr(I)-Tr(I)Tr(\alpha^3\alpha^2\alpha^1).$$ В настоящее время, $Tr(t^at^bt^c)$тривиально (по формуле произведения $t_at_b$) равно $\frac{1}{4}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)$, пока $Tr (I)=N$. В итоге получаем (в ваших обозначениях): $$Tr(t^a_G t^b_G t^c_G)=\frac{N}{2}if^{abc}.$$ Вы можете сравнить его с вашей книгой. Да, я знаю, что это не то, что вы хотели, но таким образом (и следуя ответу Джошуа о трассировках в фундаментальном представлении) вы можете получить любую желаемую трассировку. Поскольку у вас есть тег домашнего задания, я оставлю случай с четырьмя генераторами в качестве упражнения.

---

Обновлять:

Дело в том, что

$$Tr_{f}(U)Tr_{\bar{f}}(U)=Tr_{ad}(U)+1$$ , куда $Tr_R$это след в представлении $R$, $ad$является смежной репутацией, $f$является фундаментальным повторением и $\bar{f}$является фундаментальным повторением, в котором все матрицы переводятся в транспозицию своих обратных (двойное повторение, в данном случае то же, что и сопряженное повторение), является прямым следствием того факта: $$f\otimes\bar{f}\simeq ad\oplus 1$$ , куда $1$является тривиальным одномерным представлением, $Tr_1(U)=1$. Это связано с тем, что след является аддитивным при $\oplus$и мультипликативное под $\otimes$. Например, для $SU(3)$это читает $\mathbf{3}\otimes\mathbf{\bar{3}}=\mathbf{8}\oplus\mathbf{1}$. Вы можете получить другие личности, скажем, $\mathbf{3}\otimes\mathbf{3}=\mathbf{6}\oplus\mathbf{\bar{3}}$, для других представлений. Это как-то связано с теорией персонажей.

С помощью Петра Кравчука и joshphysics я завершил доказательство идентичности трассировки. Я опубликую это здесь в качестве ссылки. Методом Кравчука находим

$$\begin{split} \mathrm{tr}\big(t^a_Gt^b_Gt^c_Gt^d_G\big)&=2\big[ \mathrm{tr}\big(t^a_Nt^b_N\big)\mathrm{tr}\big(t^d_Nt^c_N\big)+ \mathrm{tr}\big(t^a_Nt^c_N\big)\mathrm{tr}\big(t^d_Nt^b_N\big)+ \mathrm{tr}\big(t^a_Nt^d_N\big)\mathrm{tr}\big(t^c_Nt^b_N\big)\big] \\ &\qquad +N\big[\mathrm{tr}\big(t^a_Nt^b_Nt^c_Nt^d_N\big)+ \mathrm{tr}\big(t^d_Nt^c_Nt^b_Nt^a_N\big)\big] \end{split}$$

где след$\mathrm{tr}\big(t^a_Nt^b_Nt^c_Nt^d_N\big)$можно рассчитать как

$$\mathrm{tr}\big(t^a_Nt^b_Nt^c_Nt^d_N\big)=\frac{1}{4N}\delta^{ab} \delta^{cd}+\frac{1}{8}(d^{abe}+if^{abe})(d^{cde}+if^{cde})$$

Используя антисимметрию$f^{abc}$и симметрия$d^{abc}$, получаем, что

$$\mathrm{tr}\big(t^a_Nt^b_Nt^c_Nt^d_N\big)+\mathrm{tr} \big(t^d_Nt^c_Nt^b_Nt^a_N\big)=\frac{1}{2N}\delta^{ab}\delta^{cd}+ \frac{1}{4}(d^{abe}d^{cde}-f^{abe}f^{cde})$$

С личностью$\big[t^a_N,\big[t^b_N,t^c_N\big]\big]+\big\{t^b_N,\big\{t^c_N,t^a_N\big\}\big\}-\big\{t^c_N,\big\{t^a_N,t^b_N\big\}\big\}=0$, мы можем переписать$f^{abc}f^{cde}$в качестве

$$f^{abe}f^{cde}=\frac{2}{N}(\delta^{ac}\delta^{bd}- \delta^{ad}\delta^{bc})+d^{ace}d^{bde}-d^{ade}d^{bce}$$

Теперь нетрудно закончить доказательство.

Вот моя рекомендация о том, как действовать. Обратите внимание, что вам дан след произведения любых двух генераторов. Поэтому было бы полезно преобразовать произведение четырех генераторов внутри трассы, которую вы пытаетесь вычислить, в сумму произведений двух генераторов. Это можно сделать, отметив следующее тождество коммутатор-антикоммутатор:

$$t^at^b = \frac{1}{2}\Big([t^a,t^b]+\{t^a,t^b\}\Big)$$ Если вы используете это на каждой из пар $t^at^b$а также $t^ct^d$в трассе, которую вы хотите вычислить, она сведется к сумме трасс пар генераторов и кратных идентичности, которую вы затем можете легко оценить.

Редактировать. Как указывает пользователь Питер Кравчук, этот метод зависит от возможности либо вычислять антикоммутаторы в присоединенном представлении, либо связывать фундаментальные повторные трассы с присоединенными повторными трассами.

ОП уже ответил на свой вопрос с помощью других ответов, особенно ответа Петра Кравчука. Здесь мы делаем некоторые комментарии о том, как конкретно должно быть реализовано упомянутое Петром Кравчуком правило слияния .

Первый момент состоит в том, что присоединенное представление$Ad_{SU(N)}$из$SU(N)$есть вещественное векторное пространство эрмитовых бесследовых$N\times N$матрицы, а фундаментальное представление$F_{SU(N)}$(и его комплексно-сопряженное представление$\bar{F}_{SU(N)}$) из$SU(N)$являются сложными представлениями .

Таким образом, правило слияния может быть реализовано только в сложной обстановке. Комплексификация$SU(N)$является$SL(N,\mathbb{C})$.

Очевидно, что все отношения алгебры Ли и тождества следов, упомянутые OP, остаются неизменными, если мы думаем о генераторах$t_a$как сложная основа для$sl(N,\mathbb{C})$а не реальная основа$su(N)$.

Теперь правило слияния выполняется в два этапа.

$$\tag{1} F_{SL(N,\mathbb{C})}\otimes_{\mathbb{C}} \bar{F}_{SL(N,\mathbb{C})} ~\cong~ Ad_{GL(N,\mathbb{C})}~\cong~1\oplus Ad_{SL(N,\mathbb{C})}.$$

Здесь представление группы Ли$Ad_{GL(N,\mathbb{C})}$векторное пространство всех комплексов$N\times N$матрицы, а представление группы Ли$Ad_{SL(N,\mathbb{C})}$векторное пространство комплексных бесследовых$N\times N$матрицы. Одномерное тривиальное представление$1$охватывает$N\times N$единичная матрица${\bf 1_{N\times N}}$.

Представительство$\bar{F}_{SL(N,\mathbb{C})}$является двойственным/контрагредиентным представлением , которое не следует путать с комплексно-сопряженным представлением . Однако для унитарных групп Ли, таких как$SU(N)$, двойственное/контрагредиентное представление и комплексно-сопряженное представление совпадают.

Правило слияния (1) конкретно доказывается путем выбора базисов для различных задействованных векторных пространств и проверки того, что базисы ковариантно преобразуются при$SL(N,\mathbb{C})$групповое действие.