Для эрмитовых и бесследовых образующих фундаментального представления алгебре антикоммутатор можно записать как
Для фундаментального представления кажется возможным вывести это выражение, утверждая, что антикоммутатор является эрмитовым и, следовательно, может быть записан в терминах бесследовые генераторы и одна матрица с ненулевым следом.
Верно ли это выражение для общего представления образующих? Если да, объясните почему и/или дайте ссылку.
Релевантность приведенного выше уравнения проявляется в попытке выразить общий продукт:
Действительно, антикоммутатор
В общем, для других представлений вы выходите за пределы этого пространства.
И действительно, как вы можете тривиально видеть для матриц SU (2) спин-1 3 × 3, антикоммутаторы выходят за пределы 4-мерного пространства тождества с 3 генераторами.
В своем ответе вы правильно разложили все антикоммутаторы на проекции на единицу, пространство алгебры Ли и остаточное ортогональное пространство универсальной алгебры Ли M . На практике, однако, M, к счастью, удается спроецировать из всех значимых количеств, подобно следу трилинейки, которую вы представляете с помощью , изменено ниже.
Тем не менее, эти объекты действительно обладают удивительно простыми свойствами, как вы интуитивно поняли в своем ответе, хотя неясно, оценили ли вы их систематизацию. Дело в том, что эти d -коэффициенты, определяемые следом трилинейки, меняются в зависимости от представления (например, они обращаются в нуль для вещественных представлений, таких как сопряженное), но все они пропорциональны фундаментального представления !
То есть, что основы передает свою тензорную структуру всем остальным повторениям, поскольку они построены из основы (см. ниже). (На самом деле, оно фигурирует в определении кубического инварианта Казимира всех SU( N ) для N > 2. Оно, конечно, равно нулю для SU(2).) Есть и другие свойства, которые вы можете найти в 1970 Д. Б. Лихтенберга. Унитарная симметрия и элементарные частицы , Глава 6.2.
Для заданного представления R образующих , нормализовать, как это принято в HEP,
След трилинейки
Из трилинейности аргумента следа сразу видно, что , так что A = 0 для любого вещественного представления, подобного присоединенному (или, в случае SU(2), также и фундаментальному, поскольку оно псевдовещественно!). Кроме того, из свойств следа можно видеть, что
Чтобы быть более явным, копроизведение (гомоморфизм колец)
Однако обратите внимание, что, вставленные в след, эти надоедливые перекрестные члены проецируются просто в силу фундаментального свойства следа, состоящего в том, что след тензорного произведения является произведением следов тензорных факторов. Как следствие, перекрестные члены при умножении на копроизведение генератора всегда будут давать члены, которые где-то содержат тензорный фактор только одной степени генератора, либо или , и так будет спроецирована бесследность единичной мощности генератора! Это, таким образом, гарантирует, что след аномалии всегда пропорционален , с коэффициентами аномалий, объединенными указанным выше соотношением (*). (Математики называют эту проекцию следствием теоремы Фридриха, но это неважно.)
Все представления могут быть получены посредством тензорирования основного, поэтому их коэффициенты аномалии в принципе могут быть вычислены рекурсивно. (И, конечно, некоторые исчезают — для настоящих.)
Наконец, для декомпозиции, которую вы постулируете правильно по форме, согласованность с приведенной выше трассировкой (отслеживание или умножение на T и отслеживание) вместо этого диктует:
Если вы хотите исследовать зацепление коммутаторов с антикоммутаторами и деволюцию d -коэффициентов в более высокие представления, вы можете использовать, помимо тождества Якоби,
Многие фундаментальные соотношения получаются при рассмотрении , который хоть и не примитивен, но трансформируется просто, . Можно показать, как и выше, что это отношение имеет место для всех представлений, где, однако, d в его определении все еще является фундаментальным. Таким образом, согласно вышеизложенному, , и так далее.
Для общего представления генераторов можно вывести следующую форму антикоммутатора
В случае присоединенных представлений и Я выполнил явный расчет , проверяя указанные выше свойства.
Я не уверен, что вы спрашиваете. Для каждой антисимметричной d-мерной матрицы вы можете извлечь часть трассировки и, следовательно, иметь
Космас Захос