След оператора

Question

След оператора

Киран

Я хочу задать вопрос о фундаментальных знаниях трассировки оператора an. Оператор $A$ является

А "=" в (г_{р} - г_{а})

$A = v (G_r-G_a)$ где v — оператор скорости гамильтониана (

v = d H / d k

$v=dH/dk$ );

G_{r}

$G_r$ и

G_{a}

$G_a$ отсталые и продвинутые зеленые функции

г_{р} "=" \frac{1}{Е_{ф} - ЧАС + я γ}, г_{а} "=" \frac{1}{Е_{ф} - ЧАС - я γ}

$G_r=\frac{1}{E_f-H+i \gamma},\;\; G_a=\frac{1}{E_f-H-i \gamma}$

E_{f}

$E_f$ - энергия Ферми системы,

H

$H$ матрица Гамильтона,

i

$i$ комплексное число

(0.0, 1.0)

$(0.0, 1.0)$ и

γ

$\gamma$ является действительным числом. Я хочу рассчитать след оператора A, и у меня есть следующее уравнение

Т р (А) "=" \sum_{я} ⟨ я | в (г_{р} - г_{а}) | я ⟩ "=" \sum_{я, я} ⟨ я | в | Дж ⟩ ⟨ Дж | (г_{р} - г_{а}) | я ⟩ "=" \sum_{я, Дж} ⟨ я | в | Дж ⟩ ⟨ Дж | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | я ⟩

$\rm{Tr}(A)=\sum_i \langle i|v(G_r-G_a)|i\rangle= \sum_{i,i} \langle i|v|j\rangle \langle j|(G_r-G_a)|i\rangle =\;\;\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle$ где,

G_{r_{i}} = \frac{1}{E_{f} - e_{i} + i γ}

$G_{r_i}=\frac{1}{E_f-e_i+i\gamma}$ и

G_{a} = \frac{1}{E_{f} - e_{i} - i γ}

$G_a=\frac{1}{E_f-e_i-i\gamma}$ . Другими словами, матрица Гамильтона в

G_{r}

$G_r$ и

G_{a}

$G_a$ преобразуется в собственное значение.

Я хочу спросить, $|i\rangle$ и $j\rangle$ должны быть собственными векторами оператора $A$ ? Может $|i\rangle$ и $|j\rangle$ быть собственными векторами $H$ матрица; не из $A$ оператор?

Мой второй вопрос заключается в том, что предположим $A$ представляет собой матрицу 2 на 2, а матрица собственных векторов $|i\rangle$ или $|j\rangle$ из $H$ это матрица 2 на 1. Чтобы вычислить

\sum_{я, Дж} ⟨ я | в | Дж ⟩ ⟨ Дж | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | я ⟩

$\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle$ , я должен использовать следующую комбинацию.

\sum_{я, Дж} ⟨ я | в | Дж ⟩ ⟨ Дж | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | я ⟩ "=" ⟨ 1 | в | 1 ⟩ ⟨ 1 | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | 1 ⟩ + ⟨ 1 | в | 2 ⟩ ⟨ 2 | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | 1 ⟩ + ⟨ 2 | в | 1 ⟩ ⟨ 1 | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | 2 ⟩ + ⟨ 2 | в | 2 ⟩ ⟨ 2 | (г_{р_{я}} - г_{а_{я}}) | 2 ⟩

$\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle=\langle 1|v|1\rangle \langle 1|(G_{r_i}-G_{a_i})|1\rangle+\langle 1|v|2\rangle \langle 2|(G_{r_i}-G_{a_i})|1\rangle+\langle 2|v|1\rangle \langle 1|(G_{r_i}-G_{a_i})|2\rangle+\langle 2|v|2\rangle \langle 2|(G_{r_i}-G_{a_i})|2\rangle$ Правильно ли я понимаю или нет? Большое спасибо.

Ответы (2)

След оператора

пользователь 245141 · Answer 1

Чтобы ваша формула была действительна, состояния $|i\rangle$ должны быть собственными векторами $H$ с энергией $e_i$ . Иначе не получишь

⟨ Дж | г_{р} | я ⟩ "=" ⟨ Дж | \frac{1}{Е_{ф} - е_{я} + я γ} | я ⟩

$\langle j | G_r | i \rangle = \langle j| \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma} |i\rangle$ поскольку то, что вы сделали, было явно действовать с

H

$H$ на состояние вправо. Пока

| j ⟩

$|j\rangle$ может быть любым базисом состояний, будет удобно также быть собственными состояниями гамильтониана, так как это даст двойную сумму по

i

$i$ и

j

$j$ единая сумма, так как для таких состояний

⟨ Дж | г_{р} | я ⟩ "=" ⟨ Дж | \frac{1}{Е_{ф} - е_{я} + я γ} | я ⟩ "=" {дельта}_{я, Дж} \frac{1}{Е_{ф} - е_{я} + я γ}

$\langle j | G_r | i \rangle = \langle j| \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma} |i\rangle = \delta_{i,j} \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma}$

Спасибо за ответ. Не могли бы вы дать мне еще несколько предложений по моему второму вопросу, который я только что добавил в свой пост?

К.Ф. Гаусс · Answer 2

Трассировка любой матрицы/оператора будет одинаковой независимо от того, какой базис вы используете, при условии, что они полны.

Таким образом, не имеет значения, выбираете ли вы собственные векторы $A$ или $H$ , но вы должны быть последовательными и использовать полную основу.

Если вы решили использовать собственный базис $A$ , то вы не можете просто заменить скалярную энергию $E_i$ для $H$ , вы должны держать $H$ оператор. Единственное исключение — если у вас есть одновременно диагонализируемый базис для $A$ и $H$ , что бывает редко.

в то время как ответ в целом верен, формула ОП, где заменяется $H$ со своими собственными значениями выполняется только для собственных векторов $H$ .
@yu-v ты прав. Позвольте мне добавить этот момент.
@KFGauss Спасибо за ответ. Не могли бы вы дать мне еще несколько предложений по моему второму вопросу, который я только что добавил в свой пост?

След оператора

Киран

Ответы (2)

пользователь 245141

Киран

К.Ф. Гаусс

пользователь 245141

К.Ф. Гаусс

Киран

Доказательство того, что трассировка не зависит от представления [закрыто]

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Альтернативное определение операторов создания и уничтожения?