Альтернативное определение операторов создания и уничтожения?

Предположим, у нас есть система бозонов, представленная их числами заполнения

(1) | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩
Тогда мы можем определить операторы создания и уничтожения
(2) а α † | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩ "=" н α + 1 | н 1 , н 2 , . . . , н α + 1 , . . . ⟩
(3) а α | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩ "=" н α | н 1 , н 2 , . . . , н α − 1 , . . . ⟩
Это хорошо, потому что числовой оператор просто а α † а α . Однако было бы разумно определить альтернативный набор операторов для работы?
(4) б α | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩ "=" | н 1 , н 2 , . . . , н α + 1 , . . . ⟩
(5) с α | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩ "=" { | н 1 , н 2 , . . . , н α − 1 , . . . ⟩ н α > 0 0 н α "=" 0
(6) Н α | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩ "=" н α | н 1 , н 2 , . . . , н α , . . . ⟩
Почему мы не работаем с этими операторами? Бозонные операторы рождения и уничтожения а α † и а α были определены для имитации повышающих и понижающих операторов гармонического осциллятора ( Икс ± я п ), но есть ли какая-либо веская причина для сохранения н α + 1 и н α факторы?

Я полагаю а α † и а α подчиняться хорошим свойствам, таким как [ а α , а α † ] "=" 1 и тот факт, что они являются эрмитовыми сопряжениями друг друга. Какие аналогичные отношения б α и с α будет подчиняться?

Еще один взгляд на эти идеи см. на physics.stackexchange.com/a/90078/26076 , где я показываю, что ваши (2) и (3) естественным образом возникают из идеи поиска наиболее общей квантовой системы, статистика измерений которой изменяется синусоидально со временем. .

Ответы (2)

Вот три свойства, которые сделают ваши определения неудобными.

Вы можете думать о а † а как ЛУ (нижнее треугольное, верхнее треугольное или Холецкого) разложение числа наблюдаемых. На самом деле, это не уникальная факторизация Холецкого, а найденная версией алгоритма внешнего произведения. Ваше определение не будет иметь этого свойства.

В результате скобка Ли между вашими двумя б , с операторы были бы немного неприятны. В собственных координатах энергии ( т . е . так, чтобы состояние квантовых гармонических осцилляторов задавалось бесконечным вектором-столбцом амплитуд вероятности находиться в каждом из числовых состояний) это было бы:

[ б , с ] "=" г я а г [ 1 , 0 , 0 , ⋯ ]

и гамильтониан будет сложнее:

ЧАС ^ "=" ℏ ю ( с б Н + 1 2 ) "=" ℏ ю ( Н с б + 1 2 )

и нет простого способа записать гамильтониан в терминах б с "=" г я а г [ 0 , 1 , 1 , 1 , ⋯ ] .

Все это сделало бы переписывание операторов и наблюдаемых выражений в нормальном порядке очень неудобным.

Наконец, есть довольно элегантный способ записать общее когерентное состояние квантового гармонического осциллятора с помощью так называемого оператора смещения :

| α ⟩ "=" опыт ⁡ ( α а † − α * а ) | 0 ⟩

который сдвигает квантовое основное состояние в когерентное с амплитудой ( т.е. смещением от начала координат в Икс − п фазовое пространство) α . Эта очень полезная формула была бы гораздо более неудобной в ваших обозначениях.

Отличный ответ, но зачем нам LU-разложение Н ? В любом случае, это диагональ в представлении числа занятий. И [ б , с ] "=" − | 0 ⟩ ⟨ 0 | это просто оператор проекции на основное состояние, так что это не так уж неприятно. Кроме того, я думаю, что гамильтониан будет просто ЧАС "=" ℏ ю ( Н + 1 / 2 ) (нам не нужно с б дело в нем), что совсем не сложно.
Впрочем, в этом вы совершенно правы а и а † занимают центральное место в построении и теории когерентного государства, что было бы неудобно с б и с .
@ChickenGod Последствия разложения LU очень полезны для нормального упорядочения. Конечно, скобка Ли, как вы говорите, является оператором проектирования, но это делает обычные формулы порядка немного неудобными. Попробуйте повторно заказать что-то вроде а н а † м : вы можете сделать это, но это значительно облегчает жизнь, если вы можете поменять местами вещи, вычитая их из тождества (например, когда [ а , а † ] "=" 1 ). Оператор смещения может быть вам полезен, а может и не быть: в квантовой оптике без него не обойтись. Ничто из этого, конечно, не высечено на камне: нотации никогда не бывают такими: ....
@ChickenGod .... но я могу придумать несколько причин, по которым нынешнее обозначение удобно. То же самое и с формулой Гамильтона: часто вы можете просто использовать числовой оператор, как вы это делаете, но также бывают случаи, когда полезно использовать декомпозицию.
Ах да, я забыл про нормальный заказ. В таком случае я понимаю, почему а а † "=" 1 + а † а превосходит б с "=" 1 − | 0 ⟩ ⟨ 0 | .

Проблема в том, что физические состояния имеют положительные числа заполнения н 1 , н 2 , . . . .

С вашими операторами у вас есть, например:

с α | н 1 , н 2 , . . . , 0 , . . . ⟩ "=" | н 1 , н 2 , . . . , − 1 , . . . ⟩ .

Это дает вам совершенно нефизическое состояние, поэтому вам придется добавлять ограничения вручную, такие как н 1 ≥ 0 , н 2 ≥ 0 , . . . , .

С операторами а α , у вас нет этой проблемы, отсутствие состояний с отрицательными числами заполнения совершенно естественно, из-за термина н α

+1 Самый отличный момент. На самом деле я «добавлял ограничения вручную» в своем собственном ответе, даже не осознавая, что делаю это. В самом деле, я только что понял, что всегда подсознательно делал это с проблемами такого рода: мне стыдно признаться, что я никогда даже не замечал того, что вы говорите раньше : н автоматически отключает "понижение" оператора уничтожения в н "=" 0 .
Верно. Я действительно хотел добавить дополнительное ограничение, которое с α действующий на н α "=" 0 государство дает 0 , но я забыл ввести это. Спасибо!
Альтернативное определение операторов создания и уничтожения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v