Следы в другом представлении

Удачи. Чтобы проверить отмену для определенных групп, таких как$E_8\times E_8$и$SO(32)$, вам действительно придется решать аналогичные теоретико-групповые задачи. Аналогичная формула трассировки для трасс$E_8$превращения получаются особенно вкусными, в том числе фактор$1/30$.

Ортогональный случай проще, даже если человек не является близким другом всех «вещей Черна», а я им не являюсь.

В вашей формуле$\exp(iF)$можно понимать как общий элемент$SO(n)$группа пока$F$является элементом алгебры Ли. Последний антисимметричен в фундаментальном представлении, хорошо? Таким образом, он может быть «диагонализирован», а собственные значения объединены в пары.$\pm\lambda_i$.

Сходным образом,$\exp(iF)$можно диагонализовать, а собственные значения идут парами$\exp(\pm i\lambda_j)$, ХОРОШО? Альтернативно,$2\times 2$блок с этими собственными значениями может быть записан как матрица$((\cos\lambda_j,\sin\lambda_j),(-\sin\lambda_j,\cos\lambda_j))$.

Теперь важно понять, как элементы матрицы выглядят в присоединенном представлении. Присоединенное представление$SO(n)$является$n(n-1)/2$объемный, ок? Позвольте мне предположить, что$n$четно - вставлять$SO(2k+1)$к$SO(2k+2)$если необходимо. Это антисимметричная часть тензорного произведения$n\times n$. Итак, если матричные элементы преобразования$\exp(iF)$в фундаментальном представлении$\exp(i\lambda_j)$, матричные элементы в присоединенном (антисимметричном тензоре) представлении представляют собой комбинации произведений двух таких вещей, т. е. комбинации$\exp(i\lambda_j+i\lambda_k)$, ХОРОШО?

Легко видеть, что если провести диагонализацию$\exp(iF)$в фундаментальном представлении с собственными значениями$\exp(\pm \lambda_j)$, след по фундаментальному представлению есть просто сумма этих фаз, которая

$${\rm tr} (\exp(iF)) = \sum_{\pm} \sum_j \exp(\pm i\lambda_j) = 2\sum_j \cos\lambda_j$$ В естественно ассоциированном базисе присоединенного представления преобразование $\exp(iF)$также диагонализируется. Поскольку $n(n-1)/2$базисные векторы - это просто пары базисных векторов фундаментального представления, диагональные элементы $\exp(iF)$являются просто произведениями двух диагональных элементов в фундаментальном представлении, поэтому они $$\exp(\pm i\lambda_j\pm i\lambda_k), \quad j \lt k$$ где два $\pm$признаки независимы. След представляет собой сумму всех этих чисел, которая $${\rm Tr}(\exp(iF)) = \sum_{j\lt k} \left[ 2\cos(\lambda_j+\lambda_k)+2\cos(\lambda_j-\lambda_k) \right]$$ Это левая сторона вашей личности. Первый член в RHS равен $$\frac 12 2^2\left(\sum_j \cos\lambda_j \right)^2$$ где я только что возвел в квадрат предыдущий результат, а второй член $$- \frac 12 \sum_j 2\cos 2\lambda_j$$ где я просто удвоил аргумент косинуса. Теперь обе стороны могут быть упрощены до $$4\sum_{j\lt k} \cos \lambda_j \cos \lambda_k$$ В случае с левой стороной это потому, что $\sin\cdot\sin$термины отменяются, когда суммируются два термина с равными или противоположными знаками. Ты используешь $\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a \sin b$– в любом случае, возможно, все было бы проще, если бы использовалась сложная экспоненциальная запись. В случае с правой частью, $j\neq k$члены из первого члена являются правильными, включая правый множитель четырех, в то время как $j=k$членов следует вычесть из первого члена на второй член. Ну и остался постоянный член: $$2\cos^2 \lambda_j - \cos 2\lambda_j = 1$$ Но постоянные условия совпадают, потому что они проверяются, когда $\lambda_j=0$для всех $j$. След тождественного оператора ( $F=0$) слева есть $n(n-1)/2$, просто размер представителя, в то время как первый член в правой части дает $n^2/2$а второй дает $-n/2$так что все в порядке.

Я уверен, что вы заполните детали и спросите, действительно ли что-то нуждается в дополнительной помощи.

Конечно, существуют доказательства, которые избегают диагонализации, и доказательства, которые концептуально связаны с более эзотерическими частями математики. Но явный расчет с использованием явных матричных элементов преобразований относительно обоих представлений может быть полезен хотя бы раз в жизни.

Кстати, вы могли заметить, что базис, в котором диагонализировались преобразования, был «комплексным» — координатами собственных векторов относительно «обычного вещественного базиса»$n$-мерное пространство было сложным. Но это не проблема. Я только что решил более общую задачу для следов в целом.$SO(n,C)$группа, а результат для$SO(n,R)$можно считать его частным случаем. Вообще говоря, в физике и «достаточно глубокой» математике никогда не следует возражать против комплексных чисел (комплексных координат собственных векторов и, возможно, комплексных собственных значений унитарных матриц и т. д.) при диагонализации вещей.

$\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$Для$\mathrm{SO}(N)$, присоединенное представление можно рассматривать как антисимметричную часть тензорного произведения фундаментального представления с самим собой.

В общем случае для такого антисимметричного представления мы имеем следующее свойство:

Учитывая представление$(V,\rho)$, представление$V\otimes V$разлагается как$S^2 V \oplus \Lambda^2 V$где$S^2 V$симметричные тензоры и$\Lambda^2 V$— антисимметричные тензоры, и мы имеем

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{1}{2}(\chi_V(g)^2 - \chi_V(g^2))$$ где $\chi(g)$это след $\rho(g)$в соответствующем представлении.

Отсюда прямо следует, что

$$\chi_{\mathfrak{so}(N)}(g) = \frac{1}{2}(\chi_\text{fund}(g)^2 - \chi_\text{fund}(g^2))$$ что дает искомое соотношение для $g = \mathrm{e}^{\mathrm{i}F}$. Итак, докажем общее утверждение о следах:

Позволять$v_1,\dots,v_n$быть основой$V$. Затем,$a_{ij} := v_i \otimes v_j - v_j \otimes v_i$,$j > i$являются базисом антисимметричных тензоров$\Lambda^2 V$. Матричный элемент представления$\sigma$из$g$на$\Lambda^2 V$в этой основе даются:

$$\sigma(g)_{kl,ij} = \rho(g)_{ki}\rho(g)_{lj} - \rho(g)_{kj}\rho(g)_{li}$$

с$\sigma(g)a_{ij} = (\rho(g)v_i) \otimes (\rho(g)v_j) - (\rho(g)v_j) \otimes (\rho(g)v_i)$по определению.

Таким образом,

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \tr(\sigma(g)) = \sum_{i < j} \sigma(g)_{ij,ij} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \sigma(g)_{ij,ij}$$

и вставка элементов матрицы дает

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{1}{2}\sum_i\sum_j ( \rho(g)_{ii}\rho(g)_{jj} - \rho(g)_{ij}\rho(g)_{ji}) = \frac{1}{2}(\chi_V(g)^2 - \chi_V(g^2))$$

что мы и хотели показать.