Аномалия U(1)U(1)\text{U}(1)-SU(2)SU(2)\text{SU}(2)-SU(3)SU(3)\text{SU} (3) треугольная диаграмма

Вы задаете вопрос только об использовании: ответ на проблему тривиален, если вы оцените задействованный язык.

Для поколения левых кварков рассмотрим 6-мерное представление. Таким образом, ваш 6-вектор будет иметь верхний кварк в трех верхних компонентах (представляющих три его цвета), а нижний — в трех нижних. Таким образом, 12 генераторов СМ соответствуют дюжине матриц 6 × 6, действующих на такие векторы.

Генераторы SU(2) составляют$\tau^i\otimes 1\!\!1_3$, то есть матрицы Паули 2 × 2 с 3 × 3 единичными единицами в каждой их записи. SU(3) также составляют$1\!\!1_2\otimes \lambda^a$, то есть матрицы Гелл-Манна, действующие на триплетный блок u и те же самые на блок d . Гиперзаряд коммутирует со всем и составляет 1/3 или 1/6 (в зависимости от условностей: средний заряд дублета или вдвое больше) раз$1\!\!1_2 \otimes 1\!\!1_3$.

За исключением гиперзаряда, след каждой из оставшихся 11 матриц исчезает — видите? Более того, произведение 1-2-3, которое вам предлагается рассмотреть, пропорционально$\tau^i\otimes \lambda^a$, также бесследно.

След произведения Кронекера есть произведение следов тензорных множителей, см. здесь последнее уравнение . (Если это не было для вас до боли очевидным, рассмотрите диагональный$\tau^3\otimes \lambda^3$.) Теперь оцените, как это верно для всех повторений, включая праворукие, где генераторы SU(2) исчезают. (Неважно, их гиперзаряд сложнее: след 0 для SU(2) равен нулю.)

Это также верно для 2-2-3 аномалий вашей задачи, так как след цветной части всегда будет исчезать, а антикоммутатор двух матриц Паули - это тождество, если вам нужно это знать, но вы не должны: дуплексный след цветового пространства, правый множитель тензорного произведения, всегда равен нулю.

На практике вы вводите соответствующие индексы. Например, глюонная вершина имеет простое число$(T_R^a)_{\alpha\beta}$где$\alpha$и$\beta$— цветовые индексы кварков в петле. Каждый кварковый пропагатор имеет$\delta_{ab}$. Таким образом, вы получаете сумму по всем цветам, которая приводит к следу$T_R^a$, что равно 0. Вершина фотона с этой точки зрения — это просто число. $Z$вершина более загадочна, но применима та же идея: ввести индексы. Но чтобы доказать результат, заданный в упражнении, вам даже не нужно явно указывать$Z$вершина, так как приведенная выше проверка вершины глюона дает вам результат.

Это легче понять, когда вы пытаетесь записать амплитуду треугольной диаграммы для U (1)$\times$СУ(2)$\times$СУ(3). Просто напомню, что нам понадобится следующее правило Фейнмана для неабелевых калибровочных теорий.

Где$T^a$— генератор группы, а «i и j» — «цветовой заряд» частицы. В принципе, поскольку у нас есть петля, эти генераторы будут внутри трассы, но поскольку они являются компонентами генераторов, мы просто можем их разложить на множители, и амплитуда будет пропорциональна генераторам.

Здесь важно отметить, что цветовой заряд взаимодействия меняется при взаимодействии с калибровочным бозоном того же взаимодействия, иначе цветовой заряд остается в потоке фермионов. Начнем с треугольника$SU(3)\times SU(2)^2$

где «i» — слабый заряд, а «l, m» — цветные заряды. Начнем с вершины слабого бозона и пойдем против потока фермионов. Этот слабый заряд «i» не меняется, когда этот фермион взаимодействует с глюонной вершиной, и то же самое происходит, когда этот фермион взаимодействует со второй глюонной вершиной. Это означает, что слабый заряд «i», который начинается, должен быть таким же в конце (для сохранения слабого заряда). История с цветовым зарядом «l» отличается, потому что он меняется на цветовой заряд «m» при взаимодействии с вершиной глюона и снова меняется на «l» (для сохранения цветового заряда) при взаимодействии со второй вершиной глюона. Так мы находим след матрицы Паули, поскольку слабый заряд не изменился, и след двух матриц Гелл-Манна.

Теперь очень наглядно показать, что для$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$диаграмме есть следы для каждого генератора.

В заключение можно вычислить вклад любых треугольных диаграмм, просто написав амплитуду и играя с цветовыми зарядами.

Предостережение: не путайте, когда я говорю «заряд цвета». Я использовал цветовой заряд для обозначения общего заряда любого взаимодействия, а также сильного взаимодействия.