связывающее спинорное и фундаментальное представление для E8E8E_8

Хорошо, я набросаю здесь несколько важных шагов для связывания спинорного представления$D_n$к векторному представлению.

Для$E_8$, присоединенное представление 248 может быть записано в терминах спинорного представления положительной хиральности 128 SO (16) и присоединенного представления 120 SO (16) как,$248=120+128$

Теперь проведение трассировки в 120 представлении можно выполнить с использованием свойства факторизации символов Черна, о котором я спрашивал ранее. Результат, связывающий трассировку в присоединенном представлении с фундаментальным представлением, гласит:

$Tr(e^{iF})= \frac{1}{2}(tre^{iF})^2-\frac{1}{2}(tre^{2iF})$

Теперь нам нужно оценить трассу в представлении 128 и связать ее с фундаментальным представлением, чтобы мы могли сравнить взаимосвязь между$TrF^4$(рядом с$E_8$) и$TrF^2$и$Tr F^6$к$TrF^2$. Это может быть связано, потому что независимый инвариантный тензор E_8 равен 2,8, 12 и т. д. (см. ссылку 1). Теперь нужно получить связь между спинорным представлением 128 и фундаментальным представлением. Из ссылки (1) соответствующая формула 65 и 66.

Сейчас$X_r$является полиномом 8-го порядка, и, следовательно, мы можем пренебречь вторым членом для наших целей, т.е. до порядка$TrF^6$.($B_{2n}$являются числами Бернулли) Теперь положив$r=8, B_2=1/6$и$B_4=-1/30$и запишем левую часть как$Tre^{F}$(в 128 представлении) , и, выполняя разложение, мы можем набрать член, сравнив степени. Делая это,

$TrF^2= 16trF^2$и$TrF^4= 6(trF^2)^2-8trF^4$какие именно нужны. Суммируя результаты 128 и 120 в терминах фундаментального представления, сразу получаем$TrF^4= 6(trF^2)^2-8trF^4+8trF^4+3(trF^2)^2=9(trF^2)^2$и$TrF^2=16 trF^2+14 trF^2=30 trF^2$. Понятно, что у нас есть отношения,

$TrF^4= (TrF^2)^2/100$

Точно так же, включив следующую мощность и значение$B_6$, мы можем получить отношение.

$TrF^4= (TrF^2)^3/7200$

Которые нужны.

Теперь, как показать эквивалентность больших формул 65 и 66, связывающих спинор с векторным представлением, можно найти в ref. 2.

Теперь, чтобы показать эквивалентность, нужно отметить, что$F/2\pi$в фундаментальном представлении можно диагонализовать с собственными значениями$\pm iy_{\beta}$(поскольку это антисимметричная матрица), где$\beta$=1…….r, однако в спинорном представлении его собственные значения равны$1/2 (\pm iy_1,………..,\pm iy_r)$, где имеется четное или нечетное количество знаков минус в зависимости от положительной или отрицательной хиральности.

Эта форма собственных значений является результатом выражения максимального коммутирующего множества генератора через его веса. Я не могу делать на этом особого акцента, ибо интересующиеся могут обратиться к Полчинскому, том 2, глава 11, или/и к «Классическим группам для физиков» Уайборна. Теперь смотрим на формулу 3.11 ссылки 2,

$Tre^{iF_s/2\pi}=2^{m-1}[\pi_{1}^{m}coshy_\beta/2 \pm \pi_{1}^{m}sinhy_\beta/2]$

. Чтобы убедиться, что эта формула верна и что нет перекрестного члена, такого как sin.cos, мы берем случай m = 4 и выбираем условие нечетного числа знаков минус. Возможная комбинация, которая у нас есть сейчас,$( y_1,y_2,y_3, -y_4),(y_1,-y_2,y_3,y_4),(y_1,y_2,-y_3,y_4),(y_1,y_2,y_3,-y_4),(-y_1,-y_2,-y_3,y_4),(-y_1,-y_2,y_3,-y_4),(-y_1,y_2,-y_3,-y_4),(y_1,-y_2,-y_3,-y_4)$с удаленным коэффициентом i/2. Теперь мы оцениваем$e^{iF_s/2\pi}$, сначала мы можем заметить, что$(y_1,y_2,y_3, -y_4)$дополняется$(-y_1,-y_2,-y_3, y_4)$и, следовательно, для другого термина. Итак, у нас есть такие термины, как$e^{\frac{1}{2}( y_1+y_2+y_3 -y_4)}$и$e^{-\frac{1}{2}( y_1+y_2+y_3 -y_4)}$, которые можно комбинировать, чтобы получить термин типа кош. То же верно и для остальных трех комбинаций.

Объединяя все термины вместе, мы получаем,

$4[cosh(y_1-y_2)cosh(y_3+y_4)+ cosh(y_1+y_2)cosh(y_3-y_4)]$, оценка этого дает

$8[cosh(y_1/2)……cosh(y_4/2)- sinh(y_1/2)……sinh(y_4/2)]$что является результатом, вытекающим из 3.11 ссылки 2.

Даже случай может быть проверен таким же образом и в любом другом порядке.

Теперь мы можем использовать разложение Тейлора$log cosh x$которые можно найти в книгах, посвященных математическим таблицам, таким как ссылка 3, и получить первый член 65 и 66 ссылки 1.

Второй термин также может быть записан аналогичным, но не таким же образом, и он включает в себя термин, который имеет порядок$Tr(F^m)$и выше (ссылка 2, уравнения 3.13 и 3.14). Однако этот термин не используется в нашем случае, и поэтому мы опускаем его обсуждение.

Использованная литература-

1- Ритберген, Шеллекенс, Вермасерен, факторы теории групп для диаграмм Фейнмана: hep-ph/9802376v1.

2- А. Н. Шеллекенс и Н. П. Уорнер, Nucl. Phys B287 (1987) 317 (можно найти в Google Scholar).

3- Градштейн, Рыжик, книга Джеффри по математическим таблицам. (У меня нет точного названия книги!).