Разложение представления умножения

Данные представления не очень велики, что делает вычисление из первых принципов не очень громоздким. Здесь я следую Слански . Следует подчеркнуть, что существуют методы (комбинаторные и другие), которые уменьшают вычислительную сложность некоторых из следующих шагов, но требуют более развитой теории представлений, чем теория Картана-Вейля, которую мы собираемся использовать.

Наибольшие веса рассматриваемых представлений равны (Слански: таблица 36):

$8_v: [1, 0, 0, 0]$

$8_+: [0, 0, 1, 0]$

$8_-: [0, 0, 0, 1]$

$56_v: [0, 0, 1, 1]$

Матрица Картана$SO(8)$дается по: (Слански: таблица 6)

$$\begin{pmatrix} 2& -1 & 0& 0 \\ -1& 2&-1 & -1\\ 0 & -1 &2 &0 \\ 0& -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Весовые диаграммы спинорных представлений могут быть построены с использованием метода, описанного Слански: стр. 31, который можно резюмировать следующим образом: начиная с наибольшего веса, если$i$-я компонента веса является положительным целым числом$n_i$, то первоначальный вес$\alpha_i$вычитается$n_i$раз. Если компонент равен нулю или отрицателен, вычитание не выполняется. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнут отрицательный вес (наименьший вес).

Эта процедура не дает кратности веса, и в принципе на каждом этапе необходимо вычислять кратность веса. Но в нашем случае представления свободны от кратности, что обнаруживается простым подсчетом, таким образом, мы избавлены от этой вычислительно сложной задачи.

Весовая диаграмма$8_+$

$$\begin{matrix} &[0,0,1,0] & \\ & \downarrow \alpha_3& \\ & [0,1,-1,0] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [1,-1,0,1] & \\ & \alpha_1\swarrow \searrow\alpha_4 & \\ [-1,0,0,1] & & [1,0,0,-1] \\ &\alpha_4\searrow \swarrow \alpha_1 & \\ & [-1, 1 ,0, -1] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[0, -1 ,1, 0] & \\ & \downarrow \alpha_3& \\ & [0, 0, -1, 0] & \end{matrix}$$

Весовая диаграмма$8_-$

$$\begin{matrix} &[0,0,0,1] & \\ & \downarrow \alpha_4& \\ & [0,1,0,-1] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [1,-1,1,0] & \\ & \alpha_1\swarrow \searrow\alpha_3 & \\ [-1,0,1,0] & & [1,0,-1,0] \\ &\alpha_3\searrow \swarrow \alpha_1 & \\ & [-1, 1 ,-1, 0] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[0, -1 ,0, 1] & \\ & \downarrow \alpha_4& \\ & [0, 0, 0, -1] & \end{matrix}$$

Теперь веса тензорного произведения равны$64$комбинации всех возможных сумм одного веса из$8_+$и один вес от$8_-$. Эти комбинации перечислены в приложении в конце этого ответа. Положительные веса в этом списке являются кандидатами на наивысшие веса разложения прямой суммы представления. Заметим, что этот список включает следующие положительные веса:

$[0, 0, 1, 1]$: Одна копия

$[1, 0, 0, 0]$: 4 копии

Первый вес является наибольшим весом$56_v$, а второй из$8_v$. Но глядя на диаграмму веса$8_v$:

$$\begin{matrix} &[1,0,0,0] & \\ & \downarrow \alpha_1& \\ & [-1,1,0,0] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [0,-1,1,1] & \\ & \alpha_3\swarrow \searrow\alpha_4 & \\ [0,0,-1,1] & & [0,0,1,-1] \\ &\alpha_4\searrow \swarrow \alpha_3 & \\ & [0, 1 ,-1, -1] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[1, -1 ,0, 0] & \\ & \downarrow \alpha_1& \\ & [-1, 0, 0, 0] & \end{matrix}$$

можно заметить, что диаграмма симметрична, отрицание любого веса также является весом, помня, что$56_v$является антисимметричным тензорным произведением 3 копий$8_v$, таким образом, каждый вес$56_v$представляет собой антисимметричное тензорное произведение трех различных весов$8_v$, мы видим, что наибольший вес может сочетаться в трех комбинациях с различным весом и его отрицательным значением, таким образом, вес$[1, 0, 0, 0]$появится как промежуточный вес три раза в$56_v$, таким образом, три из четырех появлений$[1, 0, 0, 0]$в тензорном произведении не являются старшими весами, поэтому у нас остается$56_v: [0, 0, 1, 1]$и единственный экземпляр$8_v: [1, 0, 0, 0]$. Конечно, измерение прямой суммы согласуется с измерением прямого произведения.

Приложение: Веса прямого представления продукта

$$\begin{matrix} &[ 0, 0, 1, 1]& \\ &[ 0, 1, -1, 1]& \\ &[ 1, -1, 0, 2]& \\ &[-1, 0, 0, 2]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 0, 1, 1, -1]& \\ &[ 0, 2, -1, -1]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 1, 1, 0, -2]& \\ &[-1, 2, 0, -2]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 2, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[ 2, -2, 1, 1]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 2, -1, 1, -1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 1, -2, 2, 0]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 2, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[-2, 0, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[-2, 1, 1, -1]& \\ &[-1, -1, 2, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 1, -2, 0]& \\ &[ 2, -1, -1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 2, 0, -1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, -2, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[-1, 2, -2, 0]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[-2, 1, -1, 1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[-2, 2, -1, -1]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, -2, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 1, -2, 0, 2]& \\ &[-1, -1, 0, 2]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 0, -2, 1, 1]& \\ &[ 0, -1, -1, 1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, -2]& \\ &[-1, 1, 0, -2]& \\ &[ 0, -1, 1, -1]& \\ &[ 0, 0, -1, -1]& \end{matrix}$$