Случайное блуждание со случайным отражением

Если$p=1$а также$d$непусто, то очевидно, что случайное блуждание не является временным, потому что, поскольку вы используете$\ell^1$норма, существует замкнутая поверхность, которая всегда отражает идущего обратно в замкнутую конечную область. Если, однако,$p = 0$тогда блуждание является временным, так как простые случайные блуждания в трех измерениях являются временными.

Теперь, если есть$p_c<1$его существование зависит от специфики набора$d$. Конечно, есть некоторые варианты для$d$которые являются переходными: если множество$\{d_n\}$конечна, то, очевидно, существует конечная вероятность оказаться за пределами конечной оболочки (если только$p=1$). Так как случайное блуждание по внешней по отношению к этой оболочке области является нестационарным, то вероятность вернуться в внутренность оболочки бесконечное число раз равна нулю, так как оболочка имеет конечную границу, а вероятность вернуться в конкретный участок на граничный узел бесконечное число раз равен нулю. Таким образом$p_c = 1$.

Далее в случае, когда$d_n = n$, то каждый сайт является отражающим и, следовательно, действует как случайное блуждание по трехмерной решетке с конечной вероятностью не прыгнуть на два шага (скачок плюс прыжок назад — это то же самое, что просто ждать два временных шага), и, следовательно, все еще переходный, если только$p_c = 1$.

Действительно, это кажется очень общим принципом (что нет$p_c < 1$). Один из способов понять, почему это должно быть правдой, — рассмотреть, что происходит, когда ходок входит в область между$d_i$а также$d_{i+1}$. Ходок будет дольше привязан к региону, но это не позволит ему вернуться в исходную точку и перепрыгнуть на следующий уровень. Когда$p$чрезвычайно высока, мы ожидаем, что бродяга встретит каждое место в регионе примерно одинаковое количество раз, прежде чем ему в конечном итоге удастся покинуть регион. В этом случае вероятность перехода определяется отношением площадей двух соответствующих отражающих поверхностей, и, следовательно, это вероятность перехода в область между$d_{i+1}$а также$d_{i+2}$линейно больше, чем вероятность вернуться в область ближе к началу координат. Это точно такая же вероятность, которую мы получаем, когда считаем, что ходок начинает со случайной позиции в этом регионе, когда$p=0$. Таким образом, срок отражения увеличивает только количество времени, проведенного в регионе, а не вероятность возвращения в него. При увеличении времени пребывания в регионе постоянна фиксированная$p \neq 1$, блуждание остается преходящим.

Поэтому я считаю, что выбора нет$d$такой, что$p_c < 1$. И наоборот, если$p=1$то блуждание не является преходящим, если только$d$пустой. Наконец, если$d$пусто, то нет$p_c$.

Ваша прогулка всегда преходяща, когда вы используете симметричное условие отражения в обоих направлениях, и аргумент по существу приведен в предыдущем ответе. Но когда условие отражения асимметрично , так что у вас есть отражение только тогда, когда вы выходите, бесконечное количество отражателей будет давать рекуррентное поведение для сколь угодно малой вероятности отражения в евклидовом пространстве (ПОСЛЕДНЕЕ РЕДАКТИРОВАНИЕ: до тех пор, пока$R_k$не растут экспоненциально быстро --- в этом случае у вас может быть переход --- у вас также есть хороший переход на графике Кэли).

Электростатический критерий рецидива

Повторение/неповторение случайного блуждания — это независимая от времени проблема, и ее можно решить, найдя стационарное решение. У этого есть простой электростатический аналог, см. этот ответ: время столкновения броуновских частиц.

Основной принцип таков: рассмотрим маленькую сферу и большую сферу, которые поглощают броуновские частицы. Вводите частицы в случайном месте сферы единичного радиуса и спрашивайте, какова вероятность того, что они будут поглощены большой сферой, а не маленькой. Возврат — это когда малый шар всегда поглощает первым, в пределе бесконечно большого шара.

В установившемся режиме плотность частиц подчиняется уравнению Лапласа с граничным условием, что потенциальная функция равна нулю на малой внутренней сфере, а на внешней сфере - с изломом на единичной сфере, который представляет входящий поток инжектированных частиц.

Поток частиц, которые сначала поглощаются на бесконечности, определяется интегральным градиентом потенциала (электрическим потоком) на больших расстояниях, а поток, который сначала поглощается малой сферой, определяется градиентом потенциала на малых расстояниях. (электрический поток на малых расстояниях). Поток нормируется значениями электростатического потенциала на малом и большом радиусе (поскольку на этих двух сферах потенциал должен обращаться в нуль, поскольку они поглощающие).

Результатом этого является то, что блуждание является рекуррентным тогда и только тогда, когда потенциал от маленькой сферы расходится на бесконечности (более поздняя редакция: это верно для однородных решеток --- см. ниже). Это верно для 1d, где она линейно расходится, и для 2d, где она логарифмическая, но не работает в 3d и выше, где вы приближаетесь к постоянному асимптотическому пределу на больших расстояниях. Постоянный предел делает поток на бесконечности отличным от нуля, потому что нормировка из граничного условия металла с нулевым потенциалом не бесконечна.

Односторонние отражатели

Когда вы добавляете двухсторонние отражатели, стационарное распределение не меняется, потому что если у вас бесконечно тонкая отражающая плоскость, то для того, чтобы через нее был нулевой поток, плотность пешеходов слева и справа от плоскости должны быть равны. Это означает, что плоскость не изменяет поток, и нет никакой разницы со случаем без отражателя. Прогулка по-прежнему временная с двусторонними отражателями (это содержание предыдущего ответа).

Однако, когда у вас есть односторонний отражатель, условия другие. Теперь плотность внутри должна быть больше прямо на отражателе в соотношении (1/1-p) по сравнению с внешней средой, чтобы обеспечить баланс потока через плоскость. Назовите малое отношение$A_p = 1-p$.

Чтобы иметь нулевой поток на бесконечность в установившемся режиме, распределение частиц с единичным источником должно иметь нулевую производную по r вдали от скачков на отражателях. Это означает, что весь спад плотности должен приходиться на скачки, а условие, что сфера на бесконечности находится при нулевом потенциале, дает ограничение:

$$\prod_k A_{p_k} = \prod (1 - p_k) = 0$$

Когда этот бесконечный продукт равен нулю, блуждание рекуррентно. Когда он не равен нулю, блуждание носит временный характер.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Или я так думал! Последнее уравнение, очевидно, совершенно неверно, как указал Питер Шор и поддержали анонимные проголосовавшие против. Спасибо, что заметили ошибку, к которой я был слеп.

В описанном выше методе нет ничего плохого, просто асимптотирование к нулевому потенциалу на больших расстояниях не гарантирует, что бесконечно малый поток станет равным нулю за конечное время (для меня это было нелогично). Если вы асимптотируете к нулю достаточно медленно, вы все еще можете иметь ненулевой поток на больших радиусах, никогда не достигая нуля.

Правильным условием для большого проводника является то, что он должен иметь нулевой поток через него, когда он очень большой. Для нормальных темпов роста, чтобы получить нулевой поток, все, что вам нужно, — это потенциал дойти до нуля. Но для экспоненциально быстрого роста$R_k$, чтобы обнулить потенциал на большой сфере, вы все равно можете потребовать ненулевой поток, даже если сфера начинается с бесконечно малого потенциала, просто потому, что она невероятно огромна (еще раз спасибо Питеру Шору за обнаружение этой глупой ошибки --- это не требует модификации метода, только ошибочный анализ в самом конце).

Итак, спрашивается, учитывая, что существует внешний поток$q$, каков радиус сферы, на которой потенциал сначала равен нулю? Если такого радиуса нет для достаточно малых$q$(допускается асимптотика до нуля, если она никогда не достигает его --- это была моя ошибка раньше), тогда случайное блуждание является рекуррентным.

Исходящий поток представляет собой электрический заряд, поэтому выходное решение имеет вид

$$\phi(r) = {q\over r} + A$$

В$R_1$, он ослабляется$a_1 = 1-p_1$, чтобы

$$\phi(R_1) = a_1 ( {q\over r} + A)$$

Он продолжается для больших r с тем же q, но начиная с уменьшенной высоты, так что решение для$r>R_1$является:

$$\phi(r) = ({q_1\over r} + A')$$

Где постоянная A 'задается как

$$A' = a_1 A + (1-a_1) (- {q\over R_1})$$

т. е. это средневзвешенное значение предыдущего значения A с отрицательным значением в скобках, с весом, заданным формулой$a_1$. q можно исключить, если вы переопределите A мультипликативно, чтобы поглотить его. Значение A после каждого из переходов определяется аналогичным средневзвешенным значением

$$A_{n+1} = a_n A_n + (1-a_n) ( - {1\over R_n} )$$

Это линейное разностное уравнение можно решить стандартными методами, в частности, определив

$$A_n = B_n \prod_{k=0}^n a_k$$

затем

$$B_{n+1} - B_n = { (1-a_n)\over \prod_{k=0}^n a_k } ( - {1\over R_n} )$$

И условие, что A становится отрицательным после конечного числа шагов для произвольно малого q, говорит вам, что приведенный выше ряд расходится:

$$\sum_{n=1}^\infty {(1-a_n) \over \prod_{k=0}^n a_k } {1\over R_n} = \infty$$

Расходимость этого ряда является условием повторяемости. В частном случае постоянной$a_k = 1-p$, то в ряду есть члены

$${p\over (1-p)^n} {1\over R_n}$$

Что является расходящейся экспонентой, если только R_n не растет быстрее, чем$1\over (1-p)^n$. Итак, для экспоненциально растущего$R_n$, получается нетривиальный фазовый переход, вопреки тому, что я написал изначально .

БОЛЬШЕ ПОСЛЕДНЕГО РЕДАКТИРОВАНИЯ: Cayley Graph

На графе Кэли (бесконечное бинарное дерево) вместо 3-х пространств проблема имеет фазовый переход в p, потому что, если каждый радиус будет односторонним отражением, и настроив p, вы можете сделать радиальное блуждание несмещенным после пути -зависимая от времени репараметризация. Существует устойчивый поток наружу с вероятностью 2/3, но если p равно 1/2, то половина исходящих 2/3 возвращается на следующем шаге, так что вы получаете вероятность 1/3 движения внутрь, т.е. 1/3 вероятности выхода наружу и 1/3 вероятности возвращения после двух шагов, что является стандартной беспристрастной диффузией после того, как вы объедините два шага на обратном пути в один.

Таким образом, для p<1/2 у вас есть быстротечность, а для p>1/2 у вас есть повторение, и граница находится точно на p = 1/2. Пример графика Кэли показывает приблизительную силу постоянных отражателей --- они противодействуют экспоненциальному росту.

Кроме того, стационарное распределение на графе Кэли можно анализировать, либо объединяя все вершины на расстоянии r от начала координат в одну большую вершину, и в этом случае стационарное распределение при нулевом потоке имеет экспоненциальный рост, либо не объединяя, в в этом случае стационарное распределение при нулевом потоке постоянно во всех вершинах. Два разных описания ясно показывают, что условие нулевого потока на бесконечности заключается не только в том, что стационарное распределение затухает до нуля.