Получите распределение Пуассона из вероятности на время события

Распределение вероятностей времени до следующего события

Сначала мы вычисляем плотность вероятности того, что время$t$проходит без каких-либо событий. Разделять$t$в$N$небольшие интервалы каждый длины$dt = t/N$. Определение$\lambda$как вероятность того, что событие произойдет за время, вероятность того, что ни одно событие не произойдет в течение какого-либо одного короткого интервала времени, приблизительно равна$(1 - \lambda dt)$. Следовательно, вероятность того, что ни одно событие не произойдет ни в одном из интервалов, но произойдет в интервале длины$dt$прямо в конце всех интервалов

$$\left( \prod_{i=1}^N \left( 1 - \lambda dt \right) \right) \lambda dt = \left( 1 - \frac{\lambda t}{N} \right)^N \lambda dt \stackrel{N\rightarrow \infty}{=} \lambda dt \exp \left( - \lambda t \right) \, .$$ Другими словами, учитывая время начала$0$, плотность вероятности того, что через некоторое время не произошло ни одного события$t$, но затем происходит прямо в$t$является$\lambda \exp(-\lambda t)$.

Вероятность нескольких событий

Теперь спросим вероятность того, что мы получим$n$события в промежутке времени$T$. Предположим, что первое событие произошло в$t_1$, второй даже происходит при$t_2$и т. д. Таким образом, мы имеем ряд интервалов

$$\{[0, t_1], [t_1, t_2], \ldots [t_n, T] \}$$ с событиями, происходящими в конце каждого интервала. Вероятность того, что наши события произойдут таким образом, равна $$P(t_1, t_2, \ldots t_n) = \lambda \exp(-\lambda t_1) \lambda \exp(-\lambda (t_2 - t_1)) \cdots \lambda \exp(-\lambda(T - t_n)) = \lambda^n \exp(-\lambda T) \, .$$ Конечно, любая аранжировка$\{t_1, t_2, \ldots t_n \}$такой, что$t_1 < t_2 < \ldots < t_n$считается$n$-расстановка событий, поэтому мы должны сложить вероятности всех этих возможных расстановок, т. е. вероятность того, что$n$события $$\begin{align} P(n \text{ events}) &= \int_0^T dt_1 \int_{t_1}^T dt_2 \cdots \int_{t_{n-1}}^T dt_n P(t_1, t_2, \ldots t_n) \\ &= \lambda^n \exp(-\lambda T) \int_0^T dt_1 \int_{t_1}^T dt_2 \cdots \int_{t_{n-1}}^T dt_n \, . \end{align}$$ Кратный интеграл представляет собой объем правого симплекса и имеет значение$T^n/n!$, поэтому окончательный результат $$P(n\text{ events}) = \frac{(\lambda T)^n \exp(-\lambda T)}{n!}$$ что является распределением Пуассона со средним$\lambda T$.

Связанный

• Прямая оценка симплексного объемного интеграла
• Явное вычисление для$n\in\{0, 1, 2\}$

Распределение Пуассона описывает вероятность некоторого числа ($n$) маловероятных событий ($p\ll 1$) происходит дано$N$возможности.

Это похоже на очень нечестный подбрасывание монеты$N$раз, с вероятностью$p$монеты, выпавшей орлом. Количество голов будет следовать биномиальному распределению:

$$P(n|p,N) = ~^{N}C_n~p^n (1-p)^{N-n} =\frac{N!}{(N-n)!~n!} p^n (1-p)^{N-n}$$

Теперь осталось доказать, что когда$N\rightarrow \infty$а также$p\rightarrow 0$пока$Np\rightarrow \lambda T$, что вышеизложенное сходится к известному результату. По сути, я утверждаю, что когда вы стремитесь к бесконечности числа возможностей, вы переходите от дискретного к непрерывному подходу; но пока вы осторожны со своими бесконечностями, результат все равно должен быть действительным.

Сначала найдем приближение для$(1-p)^{N-n}$. Берем лог, получаем

$$\log\left((1-p)^{N-n}\right) = (N-n)\log(1-p)\approx (N-n)\cdot (-p)$$

С$N\gg n$, мы получаем$(1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}$

Далее аппроксимируем$~^N C_n$член с использованием приближения Стирлинга, что$\log N! \approx N\log N - N$и отмечая, что$n\ll N$

затем

$$\begin{align} \log\left(\frac{N!}{(N-n)!}\right) &= N\log N - N - (N-n)\log(N-n) + (N-n) \\ &=N\log N - (N-n)\log(N-n) - n\\ &= N \log N -(N-n)\left(\log(N)+\log\left(1-\frac{n}{N}\right)\right) - n\\ &\approx N\log N -(N-n)\left(\log(N)-\frac{n}{N}\right) - n\\ &\approx n\log N + n -n \log n - n\\ &=n\log(N-n)\end{align}$$

Это следует из того$\frac{N!}{(N-n)! n!} \approx \frac{N^n}{n!}$

Наконец, отметим, что$pN = \lambda T$, и мы получаем

$$P(n|N,p) = \frac{N^n p^n e^{-Np}}{n!}$$

это легко переставляется на

$$P(n) = \frac{(\lambda T)^n e^{-\lambda T}}{n!}$$

Именно этот результат мы и решили доказать.

Я использовал эту статью , чтобы напомнить себе о некоторых шагах в этом.

Позволять$A^n_t$быть событием: точно$n$точечные события произошли за интервал времени$t$. Затем для малых$\Delta t$

$$\begin{align}P(A^n_{t+\Delta t}) &= P( A^n_t \cap A^0_{\Delta t }) + P(A^{n-1}_t \cap A^1_{\Delta t }) \\ &= P(A^n_t) P (A^0_{\Delta t }) + P(A^{n-1}_t )P( A^1_{\Delta t })\\ \end{align}$$ где мы использовали независимость возникновения. Теперь, определяя$p_n(t) \equiv P( A^n_t)$а также$\lambda = \lim_{\Delta t\to 0} p_1(\Delta t)/\Delta t$, и принимая предел для$\Delta t \to 0$мы получаем

$$p_n(t+\delta t)=p_n(t)(1 - \lambda \, \delta t) + p_{n-1}(t) \lambda \, \delta t$$

что приводит к дифференциальным уравнениям:

$$p'_n(t)= \begin{cases} -\lambda ( p_n(t) - p_{n-1}(t) ) & n>0\\ -\lambda p_n(t) & n=0 \end{cases}$$

с начальными условиями

$$p_n(0)=\begin{cases}0 & n>0\\1 & n=0 \, .\end{cases}$$

Решение дается распределением Пуассона:

$$p_n(t)=\frac{(\lambda t)^n \exp(-\lambda t)}{n!} \, .$$