Случайное блуждание в лекциях Фейнмана по физике [дубликат]

Расстояния в случайном блуждании единичны как положительные, так и отрицательные.

При расчете расстояния Д Н путешествовал после Н действия, автор использует Д Н 2 вместо Д Н . Из лекций Фейнмана по физике, часть 1 ,

Ожидаемая стоимость Д Н 2 для Н > 1 можно получить из Д Н − 1 . Если после ( Н − 1 ) шаги, у нас есть Д Н − 1 , затем после Н шаги у нас есть Д Н "=" Д Н − 1 + 1 или Д Н "=" Д Н − 1 − 1 . Для квадратов,

Д Н 2 "=" { Д Н − 1 2 + 2 Д Н − 1 + 1 о р Д Н − 1 2 − 2 Д Н − 1 + 1
В ряде независимых последовательностей мы ожидаем получить каждое значение в половине случаев, поэтому наше среднее ожидание — это просто среднее из двух возможных значений. Ожидаемая стоимость Д Н 2 затем Д Н − 1 2 + 1 . В целом следует ожидать Д Н − 1 2 его «ожидаемое значение» ⟨ Д Н − 1 2 ⟩ (по определению!). Так
⟨ Д Н 2 ⟩ "=" ⟨ Д Н − 1 2 ⟩ + 1
Мы уже показали, что ⟨ Д 1 2 ⟩ "=" 1 ; тогда следует, что
⟨ Д Н 2 ⟩ "=" Н

если я возьму

Д Н "=" { Д Н − 1 − 1 , о р Д Н − 1 + 1.

а затем усреднить их оба, чтобы получить ⟨ Д Н ⟩ "=" ⟨ Д Н − 1 ⟩ . Таким образом, это приводит к ⟨ Д Н ⟩ "=" + 1 или − 1 (потому что Д 1 "=" + 1 или − 1 ) в отличие от заданного Н .

Где в моей идее я ошибся?

Обратите внимание, что в Physics SE настоятельно не рекомендуется использовать изображения для цитирования текста и математических выражений. Пожалуйста, используйте комбинацию текста и Mathjax , который является стандартом сайта для математических выражений.
В связанном сообщении есть ответ, который решает проблему случайного блуждания, находя среднее значение н единичные векторы со случайным углом.
@StephenG Я не большой поклонник изображений, поскольку изображения могут сделать вопрос или ответ недоступным. Особенно это касается моментальных изображений. Поэтому я исправил это.
@VincentThacker Связанный, но не дубликат.
@ Винсент Такер Я обнаружил, что это действительно похоже на то, что я знал. Я не мог найти, где я был неправ на первый взгляд. Прочитав ответ Филиппа на этот вопрос, а затем отправившись туда, меня это поразило.

Ответы (1)

У вас проблемы с анализом. Прежде всего, количество ⟨ Д н ⟩ - среднее смещение (от начала координат) как функция шагов н . Поскольку случайный ходок с такой же вероятностью повернет налево, как и направо, вам должно быть интуитивно понятно, что ⟨ Д н ⟩ "=" 0 , скорее, чем 1 , как вы утверждаете. Я предполагаю, что вы неправильно поняли, что означает «средний» в данном случае. Средние значения, которые здесь берутся, относятся к множеству различных «реализаций». Другими словами, вы многократно повторяете эксперимент со случайным блужданием и каждый раз измеряете значение определенной величины (скажем, Вопрос ). Затем вы усредняете эти количества, чтобы получить ⟨ Вопрос ⟩ .

Как вы правильно заметили, в самом начале Д 1 "=" + 1 или − 1 с равной вероятностью. В результате, если вы повторите эксперимент много раз, в половине случаев первый шаг ходока будет влево (« − 1 "), а другая половина будет справа (" + 1 "). Это значит, что

⟨ Д 1 ⟩ "=" 0 ,
так как это "ожидаемое" значение. Из этого вы должны увидеть, что ⟨ Д н ⟩ "=" 0 .

Однако более интересна величина, которую вычисляет автор: это среднее расстояние , пройденное случайным н шаги. Поскольку эта величина не зависит от направления, в котором делается каждый шаг, одним из способов ее измерения было бы взять квадрат переменной Д н а затем вычислить среднее значение, т.е. ⟨ Д н 2 ⟩ . Затем вы можете извлечь квадратный корень из полученного количества, чтобы получить ответ с размерами длины. Это называется среднеквадратичным расстоянием.

В общем, для любой случайной переменной Икс ,

⟨ Икс ⟩ 2 ≠ ⟨ Икс 2 ⟩ .
(Вы можете легко проверить это, выбрав несколько отрицательных случайных чисел и вычислив их среднее значение и среднее значение квадратов. Одно будет отрицательным, а другое положительным!)

Как результат, ⟨ Д н ⟩ 2 ≠ ⟨ Д н 2 ⟩ , так что противоречия нет.

Я особенно новичок в том, чтобы задавать вопросы здесь. Я мог понять свою ошибку только после прочтения этого ответа, и предложенный аналогичный вопрос имел для меня смысл только после прочтения этого. Должен ли я удалить этот вопрос, как предложил мне Stack Exchange?
Честно говоря, я не думаю, что этот вопрос является дубликатом. Я уверен, что есть некоторое сходство со связанным вопросом, и в этом смысле он связан, но на этом все. Я думаю, что многие люди, которые приходят к этому вопросу, потому что у них похожие проблемы, не смогут получить ответ, просто посмотрев на этот так называемый «дубликат». В результате я бы посоветовал вам не удалять этот вопрос. Я проголосовал за его повторное открытие, возможно, другие пользователи согласятся.
Случайное блуждание в лекциях Фейнмана по физике [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v