Помогите понять доказательство при одновременной диагонализации

Обратите внимание, что он объясняет выше: «Рассмотрите сначала случай, когда по крайней мере один из операторов невырожден, т. е. для данного собственного значения существует только один собственный вектор с точностью до масштаба». Поэтому он использует предположение о невырожденности оператора и определение невырожденности (или утверждение, эквивалентное определению невырожденности, если вы используете другое определение).

Фраза «для данного собственного значения существует только один собственный вектор с точностью до масштаба» означает, что любые два собственных вектора с одинаковым собственным значением$\omega_i$совпадают с точностью до множителя. Затем$\lambda_i$является таким фактором.

Когда$\lambda_1$является собственным значением матрицы и$v_1$и$v_2$являются компонентами соответствующего собственного вектора, то выполняется следующее уравнение:

$\begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Теперь, когда вы увеличиваете собственный вектор (скажем, на три), он выглядит так:

$\begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3v_1 \\ 3v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Это вы можете написать как

$3 \begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Но матрица, умноженная на собственный вектор, все равно дает нулевой вектор!

Это то, что он имел в виду, когда сказал: «Поскольку этот вектор уникален до масштаба»: любой увеличенный собственный вектор матрицы по-прежнему остается собственным вектором. И как из него следует последнее уравнение?

Когда вы пишете

или

Поскольку вектор$\Lambda | \omega_i \rangle$имеет то же собственное значение, что и$| \omega_i \rangle$, он должен находиться в том же инвариантном подпространстве, что и$| \omega_i \rangle$, который Шанкар считает одномерным.

Я точно не знаю, что это значит со скаляром, но помните, что:

Вектор$|\Psi\rangle$инвариантен до фазы , потому что глобальная фаза всегда исключается, когда вы вычисляете, например, с состоянием$e^{i\theta}|\Psi\rangle$, ожидаемое значение и наблюдаемое$A$использование этого состояния

что является тем же результатом, как если бы вы вычислили ожидаемое значение, просто используя вектор$|\Psi\rangle$. Итак, для всех практических целей вы можете использовать только состояние$|\Psi\rangle$в вашей изюминке вашего доказательства.