Почему собственные значения энергии никогда не зависят от координаты положения xxx?

Гамильтониан частицы во внешней потенциальной энергии$V(x)$можно записать как

$$H = -\frac{h^2}{2m} \nabla^2 + V(x)$$ так что оператор энергии действительно зависит от координаты положения.

Однако следует сказать, что волновая функция$\psi(x)$с определенной энергией$E$удовлетворяет

$$H \psi(x) = E \psi(x)$$ где$E$просто постоянное число. Собственные значения по определению являются скалярами. Однако они зависят от параметров волновой функции. Так, например, если у нас есть набор волновых функций$\psi_i(x)$, где$i$это просто метка, то мы можем написать $$H \psi_i(x) = E_i \psi_i(x).$$ Итак, мы видим, что энергия$E_i$, конечно, зависит от того, какая волновая функция$\psi_i(x)$мы говорим о, т.е. это зависит от метки$i$.

Это то же самое, что иметь матрицу$A$и базис собственных векторов$v_i$, которые удовлетворяют

$$A v_i = \lambda_i v_i.$$ The $\lambda_i$являются постоянными в том смысле, что они являются скалярами, умножающими$v_i$, но, очевидно, они зависят от$i$!

Если$V(x) = 0$, то мы можем обозначить волновые функции$\psi_k(x)$с вектором$k$как

$$\psi_k(x) = e^{- i k \cdot x}.$$ Итак, вы видите,$k$на самом деле это метка , которая обозначает разные состояния$\psi_k(x)$. Тогда у нас есть $$H \psi_k(x) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi_k(x)$$ так $$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$$ Обратите внимание, что$E_k$действительно является константой, потому что она просто умножается$\psi_k(x)$как скаляр, но зависит от параметра $k$, о каких ярлыках, о каком государстве вы говорите.

Изменить: Доказательство: Для того, чтобы$E$«зависеть» от собственного значения оператора$\hat x$, то определенные энергетические состояния должны были бы сами быть собственными состояниями$\hat x$оператор. Их дают штаты

$$\psi_{x_0}(x) = \delta(x_0 - x)$$ где $$\hat x \psi_{x_0} (x) = x_0 \psi_{x_0}.$$

Если бы эти состояния были собственными векторами обоих$\hat x$и$\hat H$, затем$(\hat H \hat x - \hat x \hat H) \psi_{x_0}(x) = 0$. Поскольку$\psi_{x_0}(x)$содержит полный базис состояний, то это доказывает, что$[\hat{H},\hat{x}]=0$. Поэтому$E$не может зависеть от собственных значений$\hat x$пока не$[\hat{H},\hat{x}]=0$. КЭД.

Предположим, у вас есть собственное состояние$H$,$\left|\psi\right\rangle$определенной энергии$E_0$. Это означает, что волновая функция в$E$-представление есть,*

$$\left\langle E\left|\psi\right.\right\rangle =\delta\left(E,E_{0}\right)$$ Посредством чего$\delta\left(E,E_{0}\right)$Я имею в виду$\delta\left(E-E_{0}\right)$если спектр непрерывен или$\delta_{E,E_{0}}$, если он дискретный. Дважды используя отношение замыкания --once in$x$-представительство, и один раз в$E$-представление, $$I=\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=\int dE\left|E\right\rangle \left\langle E\right|$$ мы получаем, $$\left|\psi\right\rangle =\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\left|\psi\right.\right\rangle =$$ $$=\int dx\int dE\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E\right.\right\rangle \left\langle E\left|\psi\right.\right\rangle =$$ $$=\int dx\int dE\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E\right.\right\rangle \delta\left(E,E_{0}\right)=$$ $$=\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle$$ Это тождество говорит нам о том, что, когда у нас есть собственный вектор гамильтониана с определенным значением$E$(постоянный, да, но постоянный относительно чего?), все возможные значения $x$ интегрированы в него тем или иным образом, в самом общем случае, когда$x$и$H$не ездить на работу.

Теперь предположим, что гамильтониан был диагональным в $x$- представительство . Это то, что вы, кажется, предлагаете как возможность. Тогда, и только тогда -- что случается крайне редко --

$$\left\langle x\left|H\right|x'\right\rangle =E\left(x\right)\delta\left(x-x'\right)$$ $$E_{0}=\int dx\int dx'\left\langle E_{0}\left|x\right.\right\rangle E\left(x\right)\delta\left(x-x'\right)\left\langle x'\left|E_{0}\right.\right\rangle =$$ $$=\int dx\left\langle E_{0}\left|x\right.\right\rangle E\left(x\right)\left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle =$$ $$=\int dxE\left(x\right)\left|\left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle \right|^{2}$$ будет только одно значение$x$(сказать,$x_{0}$), что даст вам ненулевое скалярное произведение. А потом, $$E_{0}=E\left(x_{0}\right)$$ * Я предполагаю, что$\left\langle E\left|E\right.\right\rangle =1$, так что я несколько бесцеремонен. Надеюсь, ты простишь меня.