Сохранение импульса в процессе рассеяния

Ответ «двумя словами» заключается в том, что$S$-матрица является ковариантной по Пуанкаре. В частности, ковариация Пуанкаре требует (независимо от числа частиц в начальном и конечном состояниях, а также от деталей теории) пропорциональности$S$-матрица к дельта-функции$\delta(p_{1}+...+p_{n}-p_{1'}-...-p_{n'})$, где$\{p_{i}\}$– импульсы частиц в начальном состоянии и$\{p_{i'}\}$– импульсы частиц в конечном состоянии. Качественно это можно понять, принимая во внимание, что подгруппа группы Пуанкаре — группа трансляций — приводит к сохранению тензора энергии-импульса, что, в частности, требует сохранения 4-импульса. Поэтому для любой амплитуды в рамках диаграммного подхода Фейнмана мы используем дельта-функцию.

Приведенный ниже текст содержит только вывод этого утверждения.

Предположим, S-матрица:

$$\tag 1 S_{\alpha \beta} = \langle \alpha, \text{out}|\beta, \text{in}\rangle$$ КТП, которую вы упомянули в вопросе, основана на симметрии Пуанкаре. В частности, это означает, что нам нужно постулировать, что в пространстве любого состояния $|\alpha, \text{out}\rangle$и $|\beta,\text{in}\rangle$реализуется унитарное преобразование группы Пуанкаре, эквивалентное представлению в пространстве Фока. Это означает, в частности, что (и то же самое для $|\beta,\text{out}\rangle$) $$\tag 2 |\alpha,\text{in}\rangle = |\mathbf p_{1},\sigma_{1},...,\mathbf p_{n},\sigma_{n}\rangle,$$ где $\{p_{i}, \sigma_{i}\}$определяет одночастичное состояние с заданным 4-импульсом $p_{i}$соответствующая фиксированной орбите энергии-импульса (скажем, массивных или безмассовых частиц) и спиральности $\sigma_{i}$(предположим, что частица имеет спин $s_{i}$). Групповой закон преобразования Пуанкаре для состояния $(2)$является $$\tag 3 |\alpha,\text{out}\rangle \to \sqrt{\frac{(\Lambda p_{1})^{0}}{p_{1}^{0}}...\frac{(\Lambda p_{n})^{0}}{p_{n}^{0}}}e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(p_{1}+...p_{n})^{\nu}}\times$$ $$\times \sum_{\tilde{\sigma}_{1},\tilde{\sigma}_{2},...}D_{\tilde{\sigma}_{1}\tilde\sigma_{1}}^{s_{1}}...D_{\tilde{\sigma}_{n}\sigma_{n}}^{s_{n}}|(\Lambda p_{1}),\tilde{\sigma}_{1},...,(\Lambda p_{n}),\tilde{\sigma}_{n}\rangle$$ Здесь $a_{\mu}$и $\Lambda_{\mu}^{\ \nu}$определяются через групповое преобразование Пуанкаре, действующее на произвольный 4-вектор $x_{\mu}$, $$\tag 4 x_{\mu} \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}x_{\nu} + a_{\mu},$$ и $D_{\sigma'\sigma}$является унитарным групповым преобразованием Лоренца, соответствующим фиксированной орбите 4-вектора. То же самое верно для $|\beta,\text{in}\rangle$.

С момента преобразования$(3)$унитарна, это означает, что$S$-матрица$(1)$является ковариантным, т. е.

$$S_{\alpha\beta} \to S_{\alpha\beta}'= S_{\alpha\beta}$$ В частности, для преобразования $(4)$соответствующий $\Lambda = \mathbf{1}$и произвольно $a_{\mu}$один получает $$S_{\alpha\beta}' = e^{ia_{\mu}(p_{1}+p_{2}+...p_{n}-p_{1'}-p_{2'}-...-p_{n'})}S_{\alpha\beta} = S_{\alpha\beta}$$ Для нетривиального рассеяния это равенство требует нуля $S_{\alpha\beta}$пока не $$p_{1}+p_{2}+...+p_{n}-p_{1'}-p_{2'}-...-p_{n'} = 0$$ Но это означает не что иное, как соразмерность $S$-матрица $S_{\alpha \beta}$к дельта-функции $\delta(p_{1}+...p_{n}-p_{1}'-...-p_{n}')$, $$S_{\alpha\beta} \equiv T_{\alpha\beta}\delta(p_{1}+...+p_{n} - p_{1'}-...-p_{n'})$$

PS Вы можете найти больше о ковариации Пуанкаре$S$-матрица (а также приведенный выше вывод) в КТП Вайнберга, Vol. 1. Я также думаю, что подобный вывод можно найти в книге Шварца.