Сохраняются ли релятивистский импульс и релятивистская масса в специальной теории относительности?

Предположим, что два объекта сталкиваются и объединяются в один объект. Останется ли общий релятивистский импульс и релятивистская масса одинаковыми? В учебнике по физике для 12 класса я прочитал, что релятивистский импульс можно определить как$|\text{relativistic momentum}| = \frac{\text{rest mass} \,\times\, v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$а релятивистская масса может быть определена как$\text{relativistic mass} = \frac{\text{rest mass}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. С другой стороны, общая масса покоя не обязательно должна оставаться неизменной. Например, столкновение может нагреть комбинированную систему, а более быстрые вибрирующие атомы могут иметь более сильные релятивистские эффекты, придающие комбинированной системе большую инерцию на макроскопическом уровне, поэтому мы определяем ее как имеющую более высокую массу покоя.

Предположим, что любая любая система отсчета, два невращающихся объекта любой положительной массы покоя любой досветовой скорости, если они соединяются под таким углом, что объединенная система тоже не вращается, всегда будут объединяться в объект с той же самой массой покоя и скорость. Кроме того, предположим, что релятивистский импульс и релятивистская масса являются функцией массы покоя и досветовой скорости, так что:

• Для любой субсветовой скорости релятивистский импульс и релятивистская масса изменяются линейно с массой покоя.
• Релятивистский импульс направлен в направлении скорости для ненулевой досветовой скорости.
• Релятивистская масса и величина релятивистского импульса не меняются между любыми двумя скоростями с одинаковой величиной.
• Релятивистская масса объекта при нулевой скорости является его массой покоя, и для любой массы покоя, когда его скорость приближается к нулю, его релятивистский импульс, деленный на его скорость, приближается к его массе покоя.
• Когда два невращающихся объекта объединяются в один невращающийся объект, полная релятивистская масса и релятивистский импульс сохраняются.

После того, как я проделал большую работу, я придумал в уме математическое доказательство того, что в более чем одном измерении единственным решением этих критериев является:

• $\text{relativistic mass} = \frac{\text{rest mass}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$где$v$это скорость объекта, а не скорость и$c$это скорость света.
• релятивистский импульс при нулевой скорости равен нулю, а при ненулевой досветовой скорости релятивистский импульс направлен в направлении скорости и$|\text{relativistic momentum}| = \frac{\text{rest mass} \,\times\, v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
• Для двух невращающихся объектов с любой положительной массой покоя и досветовой скоростью, которые объединяются в один невращающийся объект, массу покоя и скорость системы можно определить следующим образом: вычислить релятивистскую массу и релятивистский импульс каждого объекта, затем сложить их, чтобы получить релятивистская масса и релятивистский импульс объединенной системы, затем вычисляют массу покоя и скорость объединенной системы из ее релятивистской массы и релятивистского импульса, используя формулы для релятивистской массы и релятивистского импульса. Решив эти уравнения, получим$\text{rest mass} = \sqrt{\text{relativistic mass}^2 - \frac{|\text{relativistic momentum}|}{c}^2}$и$\text{velocity} = \frac{\text{relativistic momentum}}{\text{relativistic mass}}$для ненулевого релятивистского импульса и$\text{rest mass} = \text{relativistic mass}$для нулевого релятивистского импульса.

Как мы узнаем, что результат, который я только что доказал, действительно верен? Я не доказывал, что исходные критерии, из которых я вывел этот результат, верны. Эту проблему можно решить, решив, что по определению специальная теория относительности определяет релятивистскую массу и релятивистский импульс в соответствии с функцией, которой они следуют в предпоследнем и предпоследнем пунктах списка, и предсказывает, что когда когда-либо два невращающихся объекта объединяются в один невращающийся объекта, масса покоя и скорость комбинированной системы фактически определяется так, как она есть в соответствии с последним пунктом списка. Также с помощью математики мы можем показать, что это предсказание в соответствии с теорией на самом деле является решением исходных критериев, и на самом деле проще показать, что это решение, чем то, что только оно может быть решением.

Легко показать, что в специальной теории относительности досветовые скорости могут быть представлены точками на гиперболической плоскости. Теперь, если у вас есть пространство Минковского и для объекта с заданной массой покоя и любой досветовой скоростью вы наносите точку в этом пространстве Минковского, где временная координата представляет его релятивистскую массу, а пространственные координаты представляют его релятивистский импульс, вы получаете функцию от досветовых скоростей к плоскости в этом пространстве Минковского, которые все находятся на одинаковом расстоянии от начала координат и, следовательно, имеют гиперболическую геометрию, и каждая скорость точно соответствует точке в этой гиперболической плоскости, которую она представляет, как описано ранее. Отсюда легко показать, что в любой системе отсчета

Теперь в реальном мире, если это имеет место для какого-либо конкретного материала, чем он горячее, тем больше у него масса покоя на атом, а для невибрирующего вращающегося объекта его масса покоя определяется как тройной интеграл релятивистской плотности каждая часть в системе отсчета, где объект не имеет общего движения, а релятивистская плотность каждой части определяется как$\text{relativistic density} = \frac{\text{rest density}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$и его релятивистская масса в любой системе отсчета определяется одинаково и оказывается, что даже для вращающегося объекта$\text{relativistic mass} = \frac{\text{rest mass}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$? Это также тот случай, когда когда-либо два объекта с заданной массой покоя и скоростью, если они объединяются, независимо от того, вращаются они до или после столкновения, всегда будут объединяться в объект с массой покоя и скоростью, предсказанными ранее, независимо от источника какая часть его массы покоя приходится на тепловую энергию, а какая на кинетическую энергию вращения? Возможно, квантовая теория, не учитывающая гравитацию, может предсказать, так это или нет.