Пришли ли математики к выводу, что индийский физик-математик разрешил гипотезу Римана?

Краткое содержание

Текущая версия вопроса задает две вещи:

Пришли ли математики к выводу, что индийский физик-математик разрешил гипотезу Римана?

Нет. Нет ни одного профессионального математика, который публично заявил бы, что прочитал доказательство Кумара и решил, что оно верно.

Итак, действительно ли комитет пришел к выводу, что гипотеза Римана была разрешена Кумаром Эсвараном?

Да , комитет заявил, что, по их мнению, Кумар решил проблему. Но только один член комитета является математиком, и комитет заявил, что пришел к своему выводу, полагаясь на мнения рецензентов, все из которых либо явно не согласны с выводами комитета, либо сами не являются математиками.

Кроме того, обоснование, представленное комитетом в отношении того, как они пришли к своему заключению, страдает от множества вводящих в заблуждение заявлений и явного непонимания математических рассуждений и значения математических доказательств, что сводит к нулю любое доверие, которое комитет мог бы иметь в противном случае.

Приведенный ниже подробный анализ не требует математической подготовки для понимания. Как бы то ни было, я профессиональный математик с опытом в областях, связанных с гипотезой Римана, но справедливость моего ответа никоим образом не зависит от этого факта.

Детальный анализ

Основным источником заявления средств массовой информации о том, что доказательство Эсварана подтверждено, по-видимому, является этот 208-страничный отчет под названием «Открытые обзоры доказательства гипотезы Римана Кумара Эсварана: отчет экспертного комитета». Усилия, приложенные составителями этого отчета, впечатляют, и они являются учеными с (предположительно) некоторым доверием в своих соответствующих областях, поэтому я понимаю, почему это привлекло внимание средств массовой информации. В предисловии к этому документу д-р К. Т. Махе, носящий также впечатляющий титул «Председатель группы институтов Шринидхи», пишет (страница i отчета, курсив в оригинале):

Я могу поручиться за то, что в сложившихся обстоятельствах этот экспертный комитет проявил должную осмотрительность; он сделал все возможное, чтобы провести интеллектуально строгую, честную и справедливую оценку предложенных доказательств. На основе оценки этот комитет экспертов пришел к выводу, что доказательство гипотезы Римана доктором Кумаром Эсвараном верно.

Более того, экспертная комиссия в конце своего сводного заключения (стр. 1-2 отчета) пишет:

После тщательного изучения всех аргументов в доказательстве и отзывов экспертов, которые ответили, Комитет счел, что нет никаких отрицательных аргументов, которые могли бы технически сделать доказательство недействительным, и поэтому пришел к твердому выводу, что доказательство доктора К. Эсваран заслуживает доверия и приемлем, и его резус-фактор можно считать доказанным.

Звучит здорово, правда? Но подождите, давайте копнем глубже. Имена и должности 8 членов экспертной комиссии перечислены на странице 3 отчета в формате PDF. Только один из них, К. Шриниваса Рао, математик. Только четверо из них, числящиеся «Членами Технического комитета», подписали итоговое заключение. В число этих четырех входят К. Шриниваса Рао, два физика, и Винаяк Эсваран, брат Кумара Эсваяна, который, по-видимому, является профессором машиностроения и аэрокосмической техники.

Сводное заключение экспертов само по себе вызывает тревогу. Во-первых, утверждение «нет отрицательных аргументов, которые могли бы технически сделать доказательство недействительным» вызывает беспокойство, и я никогда не ожидал, что математик скажет это. Математические доказательства не считаются действительными по умолчанию, пока кто-то не укажет на «отрицательный аргумент», который «технически опровергает его»; на самом деле все с точностью до наоборот: бремя убеждения людей в правильности доказательства полностью лежит на человеке, утверждающем, что у него есть доказательство. Таким образом, критерий, который эксперты, по их собственному признанию, применяют при определении правильности доказательства, является prima facie недействительным.

Во-вторых, эксперты, подписавшие заключение, не утверждают, что читали доказательство и поняли его . Они только заявляют, что пришли к своему выводу «после тщательного изучения всех аргументов в доказательстве» и после прочтения шести рецензий на доказательство, написанных семью рецензентами, прочитавшими статью Эсваяна. (Справедливости ради следует отметить, что двое экспертов — оба физики — сами были рецензентами.) Таким образом, помимо этих двух физиков, выводы других экспертов (включая заключение Рао, единственного математика в группе) на самом деле получены через второго — полагаться на другие источники власти.

Теперь сводное мнение содержит цитаты из каждого из шести обзоров семи рецензентов, чтобы подтвердить вывод о том, что «RH можно считать доказанным». Давайте рассмотрим эти цитаты, что они содержат и, что показательно, что они опускают, что можно найти, просмотрев полные обзоры, приложенные далее в отчете.

Обзор 1: «Профессор Кен Робертс и профессор С. Р. Валлури. Университет Западного Онтарио, Канада».

Мы нашли работу д-ра Эсварана весьма стимулирующей математические идеи и считаем, что его работа должна быть доведена до сведения более широкой научной аудитории. То есть доказательство (или отдельные части методологии) должны быть опубликованы. Гипотеза Римана противостояла усилиям многих лучших математиков на протяжении более 120 лет…» (электронное письмо организатору, стр. 58).

Хм. Ну так делайте проф. Робертс и С. Р. Валлури действительно говорят, что считают доказательство правильным? Неа. Фактически, в своем подробном отчете, включенном позже в документ, они пишут (стр. 66): «В настоящее время мы не решили, является ли доказательство точным во всех отношениях. полностью обоснованное доказательство». В электронном письме на странице 58 они написали: «Наш отчет неполный, поскольку мы не рассмотрели все аспекты предложенного доказательства. Есть некоторые аспекты дзета-функции Римана, с которыми мы недостаточно знакомы, чтобы говорить авторитетно. ." В итоговом заключении об этом не говорится.

Обзор 2: «Профессор Владислав Наркевич (так в оригинале), Ворцлавский университет (так в оригинале), Польша, известный польский теоретик чисел».

Этот обзор представлен в форме очень подробных технических обсуждений по электронной почте, проведенных профессором Владиславом Наркевичем, который проработал многие части документа, задавал вопросы и изучил ответы, обсуждения заняли почти 60 страниц (стр. 86-140). Комитет высоко оценивает кропотливую проверку и обсуждение, которые были проведены в духе открытого и искреннего исследования, раскрывающего многие тонкости RH, - мы благодарим его. Все его обсуждение приведено в этом отчете для читателей и потомков.

В своем предпоследнем электронном письме профессор Наркевич назвал аргументы «эвристическими», хотя и говорит: «Я согласен с тем, что сходство рассматриваемой последовательности значений лямбда-функции со случайным блужданием дает некоторые основания верить в истинность гипотезы». (стр. 129)

Окончательный ответ профессора Наркевича заканчивался следующим предложением: «Я также хочу подчеркнуть, что слово «эвристика» не имеет отрицательного значения. Многие работы действительно великих математиков были выполнены эвристическим путем. Это относится не только к старым временам (Эйлер, Лаплас, Бернулли,...), но и к новейшим временам» (стр. 139).

Хм. Эксперты, похоже, считают профессора Наркевича авторитетом в этом вопросе и что его мнение имеет большое значение, поскольку они решили включить в отчет распечатку его страницы в Википедии (страницы 86-87). Но действительно ли он говорит, что считает доказательство правильным? Неа. На самом деле, в электронной переписке на 60 страницах он очень четко и неоднократно заявляет, что считает доказательство неверным. (См. стр. 88, 94, 100, 110, 129.) Но эксперты не упоминают об этом в своем резюме, вместо этого вырывая из контекста одну из цитат Наркевича, причем слабую цитату, которая ничего не говорит о правильности доказательства или отсутствие правильности.

Обзор 3: "Профессор Герман Сьерра, кафедра физики Мадридского университета, Испания"

Это единственный отрицательный отзыв (стр. 141–143). Рецензент, похоже, полагал (ошибочно), что Эсваран пытался доказать случайность простых чисел, а также предположил, что он (Эсваран) считал, что равных вероятностей достаточно для доказательства. Эсваран в своем ответе (стр. 144-154) возразил, что он не придерживается ни одной из этих точек зрения. Поскольку рецензент не ссылался более чем на 3/4 статьи, Эсваран попросил рецензента прочесть остальную часть статьи для получения подробностей фактического доказательства. Поскольку рецензент не ответил, этот обзор необходимо рассматривать как неполный и бесплодный.

Опять же, в этом отклонении отрицательного отзыва профессора Сьерры есть концептуальная ошибка. Эксперты, похоже, исходят из того, что для того, чтобы определить, что доказательство неверно, нужно прочитать его полностью. Это неверно, и это противоположно тому, как работают математические доказательства: чтобы решить, что это правда, вам нужно прочитать все это, но чтобы решить, что это не действительное доказательство, достаточно найти одно неверное (или расплывчатое, или бессмысленное ) даже не неверный "стиль") шаг.

(Действительно, история заявляемых доказательств гипотезы Римана и других известных гипотез показывает, что исторически их почти всегда можно было довольно легко отвергнуть, найдя одно явно неверное или бессмысленное утверждение, и критику «как вы можете отвергнуть ее? я даже не читал всего этого!» — это вечная жалоба сумасшедших сторонников доказательств с плохим пониманием математических рассуждений.)

Обзор 4: «Составлено профессором М. Ситхараманом, ранее работавшим на кафедре теоретической физики Мадрасского университета» (один из членов экспертного комитета).

Этот рецензент, изучив статьи Кумара Эсварана, высказался очень определенно и сказал следующее: «Авторский анализ исчерпывающий, недвусмысленный, и каждый шаг в анализе очень подробно объяснен и установлен. Таким образом, выводы автора и его результат следует считать доказанными». (стр. 7)

Этот рецензент не математик. Но ладно.

Обзор 5: «Профессор В. Шринивасан, бывший профессор физики и декан Хайдарабадского университета» (также один из членов экспертного комитета)

Профессор Шринивасан рассмотрел различные этапы доказательства, заявив, что «разумно используя свойства задачи о случайном блуждании» было показано, «что гипотеза Римана верна. Приведено также численное доказательство». «Я хвалю автора за решение гипотезы Римана» (стр. 38–39).

Этот рецензент тоже не математик. И использование им фразы «численное доказательство» указывает на еще одно непонимание того, как работают математические доказательства, и что он приписывает слову «доказательство» совершенно иное значение, чем то, которое имеют в виду математики, когда используют это слово.

Обзор 6: «Профессор Винаяк Эсваран, кафедра машиностроения и аэрокосмической техники, ИИТ Хайдарабад».

Профессор Винаяк, младший брат Кумара Эсварана, взял на себя труд потратить большую часть двух лет, чтобы понять и изучить исходный материал и понять доказательство РГ. Поэтому он был приглашен Комитетом написать обзор доказательства. Он представил очень подробный обзор, в котором суммированы все аргументы доказательства и говорится, что нет никаких сомнений в том, что гипотеза Римана доказана. Он также представил эссе, в котором обсуждается, почему RH было так трудно доказать, поскольку, возможно, это можно было сделать только одним способом (страницы 8–35).

Этот человек не математик. Даже если он не был близким родственником человека, чье доказательство он оценивает, его мнение о доказательстве по большей части не имеет значения в контексте текущего обсуждения.

Заключение

208-страничный отчет содержит множество утверждений, которые намеренно или непреднамеренно вводят в заблуждение. Поскольку я профессиональный математик, я могу недвусмысленно заявить, что это добавляет ноль доверия среди профессиональных математиков заявлениям Эсварана о том, что он нашел доказательство гипотезы Римана. И если профессиональные математики не примут это утверждение, нет смысла считать гипотезу Римана «решенной» Кумаром Эсвараном на данный момент времени.

После полного и точного ответа @DanRomik: я был одним из тысяч людей, которых попросили изучить и прокомментировать исходный документ. После беглого просмотра я понял, что это довольно типичный не совсем математический подход ко многим вещам. Числа, эвристики и т. д. Я не читал его внимательно, но достаточно глубоко, чтобы быть уверенным, что не хочу тратить на это время.

Я действительно с большим уважением отношусь к замечательным математическим идеям, порожденным физиками и физиками... но/а также осознаю ловушки, к которым слишком оптимистичное/наивное восприятие некоторых из этих идей может привести к псевдо/не- доказательства многих вещей. Особенно, когда замечательные в других отношениях идеи выносятся далеко за пределы проверенного рабочего диапазона.

И да, только потому, что кто-то звучит неортодоксально/ненормально, не означает, что он неправ . Так что я стараюсь выйти за рамки моей первоначальной реакции отвращения к напыщенности и тому подобному, чтобы не упустить потенциально замечательные вещи. Но, тем не менее, в данном случае, думаю, я не найду столько, что меня бы заинтересовало.

«Итак, комитет действительно пришел к выводу, что гипотеза Римана была разрешена Кумаром Эсвараном?»

Да, они сделали : «На основе оценки этот экспертный комитет пришел к выводу, что доказательство гипотезы Римана доктором Кумаром Эсвараном верно». Однако это не был независимый комитет (он был сформирован университетом, в котором работает Кумар Эсваран), и он не соответствовал стандартам Института Клэя, чтобы отметить гипотезу Римана как «решенную». Это само по себе не означает, что доказательство неверно, поэтому сейчас я суммирую фактические обзоры в отчете (доступ к которому вы можете получить, щелкнув ссылку в начале этого абзаца).

Краткое содержание:

• Обзор 1 был сделан двумя людьми, которые сказали, что у них недостаточно опыта.
• Обзоры 2 и 3 были сделаны экспертами, но оба они отклонили доказательство как «эвристическое».
• Обзоры 4–6 были сделаны более «местным» комитетом, в который входил собственный брат Эсварана.

Приложение (объясняющее резюме более подробно):

Обзор 1: Кен Робертс и С. Р. Валлури , Университет Западного Онтарио, Канада

• «Наш отчет неполный, поскольку мы не рассмотрели все аспекты предложенного доказательства. Есть некоторые аспекты дзета-функции Римана, с которыми мы недостаточно знакомы, чтобы говорить авторитетно».

Обзор 2: Владислав Наркевич , Вроцлавский университет, Польша

Это представлено в виде серии электронных писем между рецензентом и рецензентом.

• 22 фев 2020 (Наркевич) : Обзор состоит из 4 разделов. В разделах 1-2 рецензент соглашается с некоторыми утверждениями автора, но приводит к ним почти 1-строчные доказательства. В разделах 3-4 он утверждает, что в доказательстве Эсварана есть недостатки, например, он говорит: «Это просто неправда».
• 24 февраля 2020 г. (Эсваран) : Дает двухстраничный ответ.
• 2 марта 2020 г. (Наркевич) : Обзор можно разделить на части (а) и (б). Он согласен с (а) и говорит, что это было доказано в 1898 г. Х. фон Мангольдтом, но говорит, что «утверждение б) не имеет правильного доказательства».
• 5 марта 2020 г. (Эсваран): содержит прямой ответ о (b).
• 9 марта 2020 г. (Наркевич): Он говорит: «Основная проблема с вашим подходом к RH заключается в доказательстве (1)» и «нигде в вашей статье вы не упоминаете, как можно формально вывести ваше утверждение о (1) из этого хорошо- известная теорема. Интересно, возможно ли такое доказательство, так как элементы последовательности λ(n) зависят от n, а элементы в случайной последовательности не обладают этим свойством». Он начинает обескураживать Эсварана, говоря: «Не беспокойтесь об этой ситуации. Несколько превосходных математиков безуспешно пытались доказать гипотезу Римана».
• 13 марта 2020 г. (Эсваран): Ответ «занимает некоторое время».
• 17 марта 2020 г. (Эсваран): дает ответ на 4 страницах.
• 30 марта 2020 г. (Наркевич): Он говорит: «Ваше доказательство состоит из следующих шагов» и дает 5 шагов. он говорит, что шаг 4 неверен.
• 2 апреля 2020 г. (Эсваран): дает ответ на 4+ страницах.
• 3 апреля 2020 г. (Наркевич): все становится более целенаправленным. Он говорит: «На этот раз я посылаю вам короткое сообщение только с одним вопросом», а затем: «Кажется, проблема вашего доказательства заключается в том, что вы игнорируете различие этих двух понятий вероятности. Если у вас действительно есть доказательство вашего утверждение, то я хотел бы иметь возможность увидеть его».
• 5 апреля 2020 г. (Эсваран), 14 апреля (Наркевич), 16 апреля (Эсваран): больше туда и обратно.
• 17 апреля 2020 г. (Наркевич): Это последнее электронное письмо от Наркевича в отчете. Конкретных нападок на работу Эварана больше нет , но он называет аргумент Эсварана «эвристическим» и указывает, что лично он не назвал бы его «доказательством».

Рецензент 3: Херман Сьерра , Instituto de Fisica Teorica, Испания.

• 9 сентября 2020 г. (Сьерра): Обобщает доказательство и говорит: «Эта идея использовалась эвристически для предположения о моментах дзета-функции Римана, но опять же, строгих доказательств нет, за исключением нескольких случаев».
• 6 октября 2020 г. (Эсваран): Дает ответ в виде 10-страничного PDF-файла, но, в отличие от случая с Наркевичем, отчет не содержит ответа рецензента.