Спектральная плотность флуктуаций (белый шум/процесс с дельта-корреляцией)

Question

Спектральная плотность флуктуаций (белый шум/процесс с дельта-корреляцией)

шум
Физика
корреляционные функции
статистическая механика
флуктуация-диссипация

Лопи Толл

Пусть I будет током, протекающим через некоторый переход в результате N носителей заряда с зарядом q. И разреши $\langle I (t) \rangle$ быть его средним.

Предположим, что распределение числа частиц такое, что его флуктуация определяется выражением $\langle (\Delta N)^2 \rangle=\langle N\rangle$ .

Так $\langle I\rangle = q \langle N \rangle$ и по определению корреляционной функции $K_I(\tau)=\langle (\Delta I)^2 \rangle$ (где $\tau$ быть разница во времени $t' - t$ ) у нас есть

К_{ф} (т) "=" д ⟨ я ⟩

$K_f(\tau)= q \langle I\rangle$

Упрощение этого происходит из-за того, что носители заряда текут случайным и независимым образом. Итак, мы используем следующее:

Пусть спектральная плотность флуктуаций определяется как преобразование Фурье корреляционной функции $K_f(\tau)$

С_{я} (ю) "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} К_{ф} (т) е^{я ю т} г т

$S_I(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) e^{i \omega \tau} d\tau$

Случайный и независимый характер системы означает, что это процесс с дельта-корреляцией, где мы имеем $S_f(\omega)= constant = S_f(0)$ ,

так что с помощью обратного преобразования Фурье имеем

\begin{array}{rcl} К_{я} (т) & "=" & 2 π С_{я} (0) дельта (т) \\ "=" & 2 π (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} К_{ф} (т) е^{я 0 т} г т) дельта (т) \\ "=" & \int_{- \infty}^{\infty} К_{ф} (т) г т дельта (т) \\ "=" & К_{ф} (0) дельта (т) \end{array}

$\begin{eqnarray} K_I(\tau) &=& 2\pi S_I(0) \delta(\tau) \\ &=& 2 \pi \bigg(\frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) e^{i 0 \tau} d\tau \bigg) \delta(\tau) \\ &=& \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) \\ &=& K_f(0) \delta(\tau) \\ \end{eqnarray}$

Я пытаюсь понять, законен ли мой следующий шаг:

Не мог бы я изменить первую строку приведенного выше уравнения, чтобы сказать

\begin{array}{rcl} К_{я} (т) & "=" & 2 π С_{я} (0) дельта (т) \\ д ⟨ я ⟩ & "=" & 2 π С_{я} (0) дельта (т) \\ \frac{д ⟨ я ⟩}{2 π дельта (т)} & "=" & С_{я} (0) \end{array}

$\begin{eqnarray} K_I(\tau) &=& 2\pi S_I(0) \delta(\tau) \\ q \langle I\rangle &=& 2\pi S_I(0) \delta(\tau) \\ \frac{q \langle I\rangle}{2\pi \delta(\tau)} &=& S_I(0) \end{eqnarray}$

Я надеюсь, что теперь это более ясно.

Моя мотивация исходного вопроса

если для среднего количества $\langle I \rangle$ , делает

\frac{⟨ я ⟩}{дельта (т)} "=" я

$\frac{\langle I \rangle}{\delta(\tau)} = I$

Бы

С_{я} (ю) "=" С_{я} (0) "=" \frac{д ⟨ я ⟩}{2 π дельта (т)}

$S_I(\omega)=S_I(0)= \frac{q \langle I \rangle}{2 \pi \delta(\tau)}$ или

С_{я} (ю) "=" С_{я} (0) "=" \frac{д ⟨ я ⟩}{дельта (т)}

$S_I(\omega)=S_I(0)= \frac{q \langle I \rangle}{\delta(\tau)}$

в том, что я знаю ответ

С_{я} "=" д я

$S_I = q I$

без среднего $\langle I \rangle$ или $2\pi$ .

гипортнекс

обычно достаточно плохо умножать на

δ (\cdot)

$\delta(\cdot)$ но делить с ним - полная ерунда

Андрей

Также обратите внимание, что единицы не согласованы в уравнении

⟨ I ⟩ / δ (τ) = I

$\langle I \rangle / \delta(\tau) = I$ , с

δ (τ)

$\delta(\tau)$ имеет единицы 1/время. Я думаю, нам нужно немного больше деталей о том, что вы хотите рассчитать.

Лопи Толл

Как

δ (τ)

$\delta(\tau)$ есть единицы времени? Я не знал, что в таком распределении, как дельта Дирака, могут быть единицы @Andrew

Андрей

\int d τ δ (τ) = 1

$\int {\rm d} \tau \delta(\tau)=1$ , и

d τ

${\rm d} \tau$ имеет единицы времени, поэтому

δ (τ)

$\delta(\tau)$ должны иметь единицы измерения 1/время. Вы также можете увидеть это из правила масштабирования

δ (a x) = 1 / a δ (x)

$\delta(a x)=1/a\delta(x)$ .

Лопи Толл

@андрей вижу! Спасибо. хорошо, позвольте мне отредактировать вопрос, чтобы он был более подробным

Лопи Толл

@Andrew отредактировал сейчас

Андрей

Я все еще с трудом следую. Для меня обозначения очень неясны. Делает

⟨ \cdot ⟩

$\langle \cdot \rangle$ относятся к среднему по времени? Если да, то почему

q ⟨ I ⟩

$q \langle I \rangle$ зависеть от времени? В чем разница между

K_{f}

$K_f$ и

K_{I}

$K_I$ ? Является

q

$q$ заряд носителя заряда или полный заряд, пронесенный через переход за некоторый промежуток времени? Я думаю, что было бы полезно переписать вопрос, очень тщательно определяя все обозначения.

Лопи Толл

Действительно! Я есть я(т). Имеется N носителей заряда с q зарядами на каждом.

K_{f}

$K_f$ — общее уравнение, корреляция величины f(t),

K_{I}

$K_I$ это с

f = I

$f=I$ .

Папа Кропоткин

Является

δ

$\delta$ дельта-распределение или представляет собой вариацию? Или, может быть, вы используете его в обоих направлениях?

Лопи Толл

@N.Steinle Я изменил все свои отклонения на треугольные дельты, чтобы было более понятно.

честный_vivere

При интеграции дельта-функция автоматически исчезает. Вот как это работает. Он предназначен для использования в интеграле для определения значения некоторой функции независимо от интеграла (при условии, что значение находится в пределах интегрирования). Поэтому я не понимаю, как дельта-функция пережила интеграцию

K_{f}

$K_{f}$ .

Лопи Толл

@honeste_vivere Я понимаю твою точку зрения! ваш комментарий равен

K_{I} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) d τ δ (τ) = K_{f} (0) δ (τ)

$K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0) \delta(\tau)$ неверно и должно быть,

K_{I} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) d τ δ (τ) = K_{f} (0)

$K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0)$ ?

честный_vivere

Да, это то, что я имел в виду.

Лопи Толл

@honeste_vivere спасибо!

Андрей

Просто примечание об обозначениях: вы должны написать

\int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) δ (τ) d τ

$\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) \delta(\tau) d\tau$ , нет

\int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) d τ δ (τ)

$\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) d\tau \delta(\tau)$ .

δ (τ)

$\delta(\tau)$ является частью подынтегральной функции. Также просто из любопытства, в чем разница между

K_{I} (τ)

$K_I(\tau)$ и

K_{f} (τ)

$K_f(\tau)$ ?

Лопи Толл

@honeste_vivere, пожалуйста, не стесняйтесь написать ответ на награду :)

Адам

Проблема в том, что вы используете

τ

$\tau$ как интеграционная (фиктивная) переменная, которая вас запутала. Вы должны были написать

\int K (τ^{'}) d τ^{'} δ (τ)

$\int K(\tau') d\tau' \delta(\tau)$ , что не равно

K (0)

$K(0)$ (ни конечно

K (0) δ (τ)

$K(0)\delta(\tau)$ ).

Ответы (1)

Спектральная плотность флуктуаций (белый шум/процесс с дельта-корреляцией)

обычно достаточно плохо умножать на $\delta(\cdot)$ но делить с ним - полная ерунда
Также обратите внимание, что единицы не согласованы в уравнении $\langle I \rangle / \delta(\tau) = I$ , с $\delta(\tau)$ имеет единицы 1/время. Я думаю, нам нужно немного больше деталей о том, что вы хотите рассчитать.
Как $\delta(\tau)$ есть единицы времени? Я не знал, что в таком распределении, как дельта Дирака, могут быть единицы @Andrew
$\int {\rm d} \tau \delta(\tau)=1$ , и ${\rm d} \tau$ имеет единицы времени, поэтому $\delta(\tau)$ должны иметь единицы измерения 1/время. Вы также можете увидеть это из правила масштабирования $\delta(a x)=1/a\delta(x)$ .
@андрей вижу! Спасибо. хорошо, позвольте мне отредактировать вопрос, чтобы он был более подробным
Я все еще с трудом следую. Для меня обозначения очень неясны. Делает $\langle \cdot \rangle$ относятся к среднему по времени? Если да, то почему $q \langle I \rangle$ зависеть от времени? В чем разница между $K_f$ и $K_I$ ? Является $q$ заряд носителя заряда или полный заряд, пронесенный через переход за некоторый промежуток времени? Я думаю, что было бы полезно переписать вопрос, очень тщательно определяя все обозначения.
Действительно! Я есть я(т). Имеется N носителей заряда с q зарядами на каждом. $K_f$ — общее уравнение, корреляция величины f(t), $K_I$ это с $f=I$ .
Является $\delta$ дельта-распределение или представляет собой вариацию? Или, может быть, вы используете его в обоих направлениях?
@N.Steinle Я изменил все свои отклонения на треугольные дельты, чтобы было более понятно.
При интеграции дельта-функция автоматически исчезает. Вот как это работает. Он предназначен для использования в интеграле для определения значения некоторой функции независимо от интеграла (при условии, что значение находится в пределах интегрирования). Поэтому я не понимаю, как дельта-функция пережила интеграцию $K_{f}$ .
@honeste_vivere Я понимаю твою точку зрения! ваш комментарий равен $K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0) \delta(\tau)$ неверно и должно быть, $K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0)$ ?
Просто примечание об обозначениях: вы должны написать $\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) \delta(\tau) d\tau$ , нет $\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) d\tau \delta(\tau)$ . $\delta(\tau)$ является частью подынтегральной функции. Также просто из любопытства, в чем разница между $K_I(\tau)$ и $K_f(\tau)$ ?
@honeste_vivere, пожалуйста, не стесняйтесь написать ответ на награду :)
Проблема в том, что вы используете $\tau$ как интеграционная (фиктивная) переменная, которая вас запутала. Вы должны были написать $\int K(\tau') d\tau' \delta(\tau)$ , что не равно $K(0)$ (ни конечно $K(0)\delta(\tau)$ ).

Роджер Вадим · Answer 1

Я считаю, что ваше определение корреляционной функции неверно, и отсюда вытекает много путаницы. Если $I(t)$ является случайным процессом (т.е. переменной, случайным образом изменяющейся во времени), то мы можем определить:

Среднее/среднее : $\langle I(t)\rangle$
Флуктуация (тоже случайный процесс, но с нулевым средним): $\Delta I(t) = I(t) - \langle I(t)\rangle$
Дисперсия : $Var(I(t)) = \langle (\Delta I(t))^2\rangle$
Корреляционная функция : $K(t,t_1)=\langle \Delta I(t)\Delta I(t_1)\rangle$

Во многих ситуациях случайный процесс можно считать стационарным , т. е. его моменты, такие как среднее значение и дисперсия, не зависят от времени, тогда как корреляционная функция зависит только от разности времен:

К (т) "=" ⟨ Δ я (т + т) Δ я (т) ⟩

$K(\tau) = \langle \Delta I(t+\tau)\Delta I(t)\rangle$ Очевидно, что дисперсией является значение корреляционной функции в равные моменты времени или, для стационарного процесса:

В а р (я) "=" К (0) "=" ⟨ (Δ я)^{2} ⟩,

$Var(I) = K(0) = \langle(\Delta I)^2\rangle,$ именно таким должно было быть первое уравнение в исходном вопросе.

Привет, определение, которое вы даете, - это то, что я использую.
@LopeyTall Вы приравниваете дисперсию к функции корреляции: $K_I(\tau)=\langle(\Delta I)^2\rangle$ . Одна постоянная, другая функция времени.

Спектральная плотность флуктуаций (белый шум/процесс с дельта-корреляцией)

Лопи Толл

гипортнекс

Андрей

Лопи Толл

Андрей

Лопи Толл

Лопи Толл

Андрей

Лопи Толл

Папа Кропоткин

Лопи Толл

честный_vivere

Лопи Толл

честный_vivere

Лопи Толл

Андрей

Лопи Толл

Адам

Ответы (1)

Роджер Вадим

Лопи Толл

Роджер Вадим

Теорема о флуктуации-диссипации и соотношения Крамерса-Кронига

Трение при нулевой температуре?

Как понять двухточечную корреляционную функцию в импульсном пространстве?

Каково соотношение флуктуации-диссипации для неквадратичных кинетических энергий?

Чем обусловлена вязкость жидкости?

Флуктуационная диссипация на кольце?

Использование функционалов в формализме Мартина Сиггиа Роуза

Анизотропия длины корреляции в двумерной модели Изинга

Корреляционная функция системы пробелов

Какова связь между статистическими и корреляционными функциями QFT?