Корреляционная функция системы пробелов

То, что корреляторы с промежутками затухают экспоненциально, может быть доказано из спектрального представления. Напомним, двухточечная функция для скаляра

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}(p)\mathcal{O}(0) \rangle=\int_0^\infty \frac{\rho(\mu^2)}{p^2+\mu^2}d\mu^2 \end{align}$$ где$\rho(\mu^2)$является спектральной функцией (результат тривиально обобщается для полей, которые не являются скалярами, и систем, которые не являются релятивистскими; все еще существует спектральное представление, но иллюстрация здесь будет чище, если мы используем приведенное выше). В позиционном пространстве, $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle=\int_0^\infty \rho(\mu^2)\frac{\exp\left(-\mu r\right)}{r}d\mu^2 \end{align}$$

Теперь, если спектр$\mathcal{O}$имеет пробел, это означает, что нет никакого спектрального веса ниже энергии$\Delta$, т.е.$\rho (\mu^2)=0$для$\mu<\Delta$.

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle&=\int_\Delta^\infty \rho(\mu)\frac{\exp\left(-\mu r\right)}{r}2\mu d\mu\\ &=\int_0^\infty \rho(\mu+\Delta)\frac{\exp\left(-(\mu+\Delta) r\right)}{r}2\left(\mu+\Delta\right)d\mu \end{align}$$ куда мы просто переместились$\mu\rightarrow\mu-\Delta$. Вытягивание фактора $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle&=\frac{\exp\left(-\Delta r\right)}{r}\int_0^\infty \rho(\mu+\Delta)\exp\left(-\mu r\right)2\left(\mu+\Delta\right)d\mu \end{align}$$ Теперь рассмотрим поведение на большом расстоянии$r\rightarrow \infty$. Тогда в интеграле преобладает нижний предел$\mu\approx 1/r\rightarrow 0$(где экспонента может быть аппроксимирована с помощью$1$). Предположим, что в этой области, т. е. вблизи щели, спектральная функция имеет вид$\rho\sim\mu^\alpha$. Тогда у нас есть $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle &\rightarrow \frac{2\Delta\exp\left(-\Delta r\right)}{r}\int_0^{1/r} \mu^\alpha d\mu \\ &=\frac{2\Delta\exp\left(-\Delta r\right)}{r^{2+\alpha}} \end{align}$$

Это показывает, что корреляторы с промежутками затухают экспоненциально; комментарий выше утверждает, что обратное неверно, и системы без промежутков могут иметь экспоненциально затухающие корреляторы. По общему признанию, я только просмотрел статью, но похоже, что они обсуждают только состояния с пробелами. Однако мне были бы интересны подробности контрпримера.

Я также должен добавить, что мы всегда должны помнить, какие степени свободы захватываются корреляторами, о которых мы говорим. Если$\mathcal{O}$является электронным оператором, то мы знаем, что электрон имеет щель. Но это не означает, например, что наша система является изолирующей: например, одночастичные функции Грина не знают о куперовских парах; эта информация будет закодирована в двухчастичной функции Грина$^1$.

$^1$_{Кроме того, у вас также могут быть бесщелевые сверхпроводники, т.е. даже электрон не полностью закрыт, поскольку щель имеет узлы вдоль поверхности Ферми.}