Спектральная теорема: матрицы против операторов

Означают ли они, что M имеет диагональное представление, как указано выше, и что при использовании указанного базиса матричное представление M является диагональной матрицей?

Вы сами правильно ответили на свой вопрос. Это также подразумевается в определении матрицы: диагональная матрица собственных значений, очевидно, является матрицей оператора в диагонализирующей системе отсчета, а эрмитово сопряжение нормализованной матрицы собственных векторов, записанных в виде столбцов, представляет собой преобразование, которое отображает начальные координаты в координаты в диагонализированной системе координат. .

Возможно, было бы полезно напомнить себе о некоторых основных свойствах ортогональных базисов. Предположим для этого$\{|i\rangle\}$представляет собой ортогональный базис векторного пространства$V$. В дополнение к условию ортогональности

$$\langle j|i\rangle=\delta_{ij} ,$$ мы также имеем условие полноты $$\sum_i |i\rangle\langle i| = {\cal I} ,$$ который может служить способом разрешения оператора идентификации ${\cal I}$.

Важно понимать, что это не единственный ортогональный базис, который можно определить для этого векторного пространства. На самом деле любая унитарная операция превратила бы этот базис в новый базис,

$$U|i\rangle = |m\rangle$$ и это простое упражнение, чтобы показать, что этот новый базис также будет подчиняться аналогичным условиям ортогональности и полноты.

Рассмотрим теперь этот случай оператора, диагонального в нашем исходном базисе. Это означает, что мы можем записать этот оператор как

$$A = \sum_i |i\rangle\lambda_i\langle i| .$$ Что произойдет, если мы преобразуем это выражение в новый базис $\{|m\rangle\}$?

Для этого мы работаем с обеих сторон$A$с тождеством, разрешенным в терминах нового базиса (которое мы также будем обозначать либо$|m\rangle$или$|n\rangle$). Посмотрите, что происходит

$$\begin{align} {\cal I}A{\cal I} &= \sum_{mni} |m\rangle\langle m|i\rangle\lambda_i\langle i|n\rangle\langle n| \\ &= \sum_{mni} |m\rangle U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}\langle n| \\ &= \sum_{mn} |m\rangle B_{mn} \langle n|\,.\end{align}$$ Надеюсь, ясно видно, что матрица $$B_{mn} = \sum_i U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}$$ в общем случае не будет диагональной матрицей. Фактор, правая часть $UDU^{\dagger}$(где $D$представляют собой диагональную матрицу) — это спектральное разложение некоторой матрицы.

Это также означает, что если бы кто-то выполнил этот процесс в обратном порядке, он бы начал с недиагональной матрицы, а затем преобразовал бы ее в диагональную матрицу путем соответствующего выбора базиса. Давайте посмотрим, как это работает. Предположим, мне дана нормальная матрица$M$, выраженный в произвольном базисе$\{|a\rangle\}$. (Я намеренно использую здесь другие символы, чтобы избежать путаницы с тем, что у нас было раньше.) Согласно спектральной теореме, теперь это можно выразить как

$$M = U D U^{\dagger} ,$$ где $U$является унитарной матрицей и $D$диагональная матрица. Обратите внимание, что $M$по-прежнему определяется с точки зрения основы $\{|a\rangle\}$в котором он не является диагональным. Однако мы можем удалить унитарные матрицы, действуя с обеих сторон следующим образом. $$U^{\dagger} M U = U^{\dagger} U D U^{\dagger} U = D .$$ Таким образом, мы получаем только диагональную матрицу. В процессе мы переопределили базис, в котором выражается матрица. Это переопределение происходит через унитарную матрицу: $|a\rangle U = |i\rangle$и $U^{\dagger} \langle a| = \langle i|$. Следовательно, унитарная матрица, которая нужна для диагонализации матрицы, также преобразует базис в специальный, в котором матрица становится диагональной.

Давайте посмотрим на явные вопросы:

«Что значит для оператора быть диагональным по отношению к базису?»

Это означает, что в этом конкретном базисе оператор (выраженный в виде матрицы) имеет ненулевые элементы только на диагонали, и эти элементы затем представляют собой собственные значения матрицы. Все остальные элементы матрицы равны нулю. Фраза «по отношению к базису» означает, что строки (и столбцы) матрицы связаны с конкретным элементом в этом базисе.

«Они имеют в виду, что$M$имеет диагональное представление, как указано выше, и, используя указанный базис, матричное представление$M$диагональная матрица?»

Да действительно, при условии, что$M$— нормальная матрица, она всегда имеет диагональное представление. (Это то, что утверждает спектральная теорема.)

«Итак, является ли матричное представление$A$за основу$\{|0\rangle,...,|n\rangle\}$просто диаг$\{\lambda_0,...,\lambda_n\}$?"

Ну, при условии, что эта основа является основой, в которой$A$диагональна, то да, диагональная матрица содержит собственные значения на диагонали.