Почему квантовые логические вентили должны быть линейными операторами?

Предположим, вы выбираете состояние$|\psi_i\rangle$случайным образом с вероятностью$p_i$и отправить его через логический вентиль, обозначенный$G$. Это случайное состояние записывается в виде матрицы плотности$\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|$. Обозначать$G(|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|)$в результате применения$G$к определенному состоянию.

Теперь, если вход$|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|$с вероятностью$p_i$, тогда вывод$G(|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|)$тоже с вероятностью$p_i$. Таким образом, выходное состояние должно быть$\sum_i p_i G(|\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|)$и поэтому

Линейные операторы, которые являются унитарными, сохраняют вероятность. Потеря такого сохранения делает вычисления с квантовой механикой бессмысленными.