Специальная теория относительности: нахождение эйлера-лагранжа массивной частицы

Знаю это

(1) л "=" − м с − η а б г ξ а г λ г ξ б г λ
мы получаем

(2) п а "=" ∂ л ∂ ( г ξ а / г λ ) "=" м η а б ты б .

Почему? Если бы я различал это л в отношении

(3) г ξ а / г λ

Я получаю совершенно другой ответ. Разве это не должно быть

(4) п а "=" ( − м с ) ( − η с г г ξ с г λ г ξ г г λ ) − 1 / 2 ( − η а б г ξ б г λ )   ?

Как это было выполнено?

Зачем держать квадратный корень? Помните, что если л удовлетворяет уравнению EL, тогда л ′ "=" ф ( л ) также удовлетворит их, пока ваш параметр λ является аффинным. я предлагаю использовать л ′ "=" л 2 избавиться от квадратного корня - это значительно упростит задачу.

Ответы (1)

Ваше последнее выражение (4) равно (2), вам просто нужно понять, что оно говорит. λ не т и

ты с "=" г ξ с г т "=" г ξ с г λ г λ г т
Если вы вернетесь к своему лагранжиану и к тому, как он был получен, вы сможете сказать, что такое г λ / г т .

Чтобы быть очень явным, действие свободной релятивистской частицы

С "=" − м с 2 ∫ г т "=" − м с 2 ∫ г т г λ г λ
где мы использовали репараметризацию в общий параметр λ . Теперь у вас есть
л "=" − м с 2 г т г λ
Когда вы сравните это с вашим уравнением (1) и со знанием г λ / г т "=" ( г т / г λ ) − 1 , вы должны получить выражение для ты с с точки зрения λ -параметризация очень легко. Подставив это выражение в (2), вы получите (4).

Я этого не понимаю. Вы, конечно, можете выбрать λ "=" т если вы хотите.
Да, и в этом случае вы бы г λ / г т "=" 1 в чем можно убедиться, используя формулу для г λ / г т и четырехскоростная нормализация η а б ты а ты б "=" − 1 .
@void Но если я хочу, чтобы моя параметризация была
λ
как (2) и (4) равны? Они этого не делают, если только - да- то, что вы упомянули, изменив параметр на
т
.
@PhilosophicalPhysics Я добавил еще несколько подсказок к ответу, думаю, теперь он должен быть довольно простым.
Специальная теория относительности: нахождение эйлера-лагранжа массивной частицы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v