Вывод закона силы в специальной теории относительности

Я видел силу, определяемую в специальной теории относительности как скорость изменения 4-импульса.

Ф "=" г п г т

Кто-нибудь может прокомментировать следующий вывод этого соотношения?

Возьмем одно измерение пространства. Если я двигаюсь с 4-скоростью U ( т ) "=" г Икс г т , то я бы испытал ускорение г U г т . (Быстрое уточнение: поскольку U имеет постоянную норму, она будет ортогональна своей производной, поэтому U ⋅ г U г т "=" 0 . А так как в моей мгновенно движущейся системе отсчета (MCRF), U всецело направлено во времени, мое ускорение, г U г т , будет полностью в космическом направлении.) Итак, в моем MCRF,

г U г т "=" а ( 0 1 ) "=" а ⋅ е → Икс

Вот шаг, в котором я не уверен: правильно ли было бы приравнять ускорение, которое я чувствую, а , с силой, действующей на меня моего ракетного двигателя, деленной на мою массу, Ф / м ? Это дало бы нам

Ф е → Икс "=" м г U г т

Обобщая до трех пространственных измерений, вы получите

Ф "=" Ф Икс е → Икс + Ф у е → у + Ф г е → г "=" м г U г т

Наконец, в моем MCRF г т "=" г т , так что вы получите исходный закон силы. Это правильный способ вывести закон силы в специальной теории относительности?

Ответы (1)

Нет, неверно, потому что говоря, что ускорение а ты чувствуешь Ф м подразумевает, что вы используете закон движения:

Ф "=" м а
Что верно в классической механике, а не в специальной теории относительности. Правильное отношение может быть выведено формально по принципу наименьшего действия.

В специальной теории относительности выводимый нами закон должен быть инвариантным относительно преобразования Лоренца. Другими словами, закон должен иметь одну и ту же форму во всех инерциальных системах отсчета, согласных с тем, что скорость света равна с. Проблема возникает из-за того, что лагранжиан свободной частицы в классической механике:

л "=" 1 2 м в 2
Не является инвариантным относительно преобразования Лоренца, поэтому, если вы используете уравнения Эйлера-Лагранжа для определения закона движения (то есть F=ma), это будет неверно. Вместо этого вы должны «построить» лагранжиан, который является Лорент-инвариантным, например:

л "=" − м с 2 1 − в 2 с 2

Это инвариант Лоренца, поэтому, если вы сейчас воспользуетесь уравнениями Эйлера-Лагранжа (которые, насколько я помню, выведены по принципу наименьшего действия), вы получите правильное уравнение:

Ф → "=" г г т ( м γ ты в → )

Было бы полезно, если бы вы могли уточнить правильное отношение. Например, какое определение силы вы сейчас (имплицитно) используете, когда говорите, что они не равны?
Извините, я отредактировал ответ
Вывод закона силы в специальной теории относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v