Вопрос о законе преобразования спиновой связи

Ковариантная производная может быть определена как:

$$\nabla_{a}=e_{a}^{~\mu}(x)\partial_{\mu}+\frac{1}{2}e_{a}^{~\mu}(x)\omega_{\mu bc}(x)M^{bc}\tag{1}$$

где$e_{a}^{~\mu}(x)$это вильбейн,$\omega_{\mu bc}(x)=-\omega_{\mu cb}(x)$спиновая связь,$M_{bc}=-M_{cb}$— образующие Лоренца (в произвольном представлении), латинские индексы — лоренцевые (плоские) индексы, а греческие индексы — мировые (кривые) индексы.

Чтобы ковариантная производная тензорных полей Лоренца преобразовывалась ковариантно, мы требуем, чтобы спиновая связь преобразовывалась неоднородно (и, следовательно, нековариантно). Для конкретности я буду рассматривать ковариантную производную (компоненты) одной формы Лоренца,$V_a(x)$. Если при общем преобразовании координат (GCT) и локальном преобразовании Лоренца (LLT) мы хотим, чтобы выполнялось следующее:

$$\nabla'_aV'_{b}(x')=\Lambda_{a}^{~c}\Lambda_{b}^{~d}\nabla_cV_{d}(x),\tag{2}$$ т. е. если оно должно трансформироваться ковариантно, то мы требуем, чтобы спиновая связь преобразовывалась как $$\omega'_{\mu ab}(x')=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}\Lambda_{a}^{~c}\Lambda_{b}^{~d}\omega_{\nu cd}(x)+\Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}.\tag{3}$$ Я только что закончил вывод о происхождении неоднородного члена в (3), но мне пришлось полагаться на две вещи, которые я не могу обосновать.

Во- первых , мне пришлось предположить, что генераторы Лоренца инвариантны относительно LLT, т.е. я предположил, что

$$M'_{ab}=\Lambda_a^{~c}\Lambda_{b}^{~d}M_{cd}=M_{ab}.$$ Я не слишком удивлен этому факту, но я не уверен, как это оправдать?

Во- вторых , я также предполагал, что неоднородный член в (3) антисимметричен по$a$и$b$. Так и должно быть, иначе спиновая связь не сохранила бы своей антисимметрии при преобразовании. Но я также хотел бы доказать, что это так, поэтому я попробовал следующее:

$$\begin{align} \Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}&=\partial'_{\mu}\big(\Lambda^{c}_{~~a}\Lambda_{bc}\big)-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=\partial'_{\mu}\big(\eta_{ab})-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=-\Lambda_{b}^{~c}\partial'_{\mu}\Lambda_{ca}. \end{align}$$ Это почти все, но не совсем, так как мне нужно показать, что $\Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}=-\Lambda^{c}_{~~b}\partial'_\mu\Lambda_{ac}$. Как я могу действовать?

PS Я использую правило «в основном плюс» для своей метрики Минковского.