Спонтанное нарушение симметрии в модели Гейзенберга?

Я хотел бы предложить противоположный ответ @tparker. Я хочу подчеркнуть тот факт, что на самом деле нет необходимости вводить какое-либо поле, нарушающее симметрию, при условии, что вы используете правильную настройку. (Конечно, для этого можно использовать нарушающие симметрию поля или подходящие граничные условия, но я считаю, что концептуально интересно, что вам не нужно этого делать.)

Я буду обсуждать только случай классических систем, так как я гораздо лучше знаком с соответствующей математической структурой.

Цель состоит в том, чтобы определить меру Гиббса для бесконечной системы. Это необходимо, так как только действительно бесконечные системы претерпевают настоящие фазовые переходы (конечно, большие конечные системы могут иметь приблизительные, сглаженные «фазовые переходы»). Обычное определение, основанное на весе Больцмана$e^{-\beta H}$в этом случае бесполезна, так как энергия бесконечной системы обычно не определена.

Наиболее эффективная схема для решения этой проблемы, так называемая теория Добрушина-Лэнфорда-Рюэля, работает следующим образом. Я обсуждаю случай модели Изинга на$\mathbb{Z}^2$для простоты, но подход полностью общий. Говорят, что вероятностная мера$\mu$на множестве бесконечных конфигураций$\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^2}$является мерой Гиббса бесконечного объема , если для любого конечного множества$\Lambda\subset\mathbb{Z}^2$и любая конфигурация$\eta\in\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^2\setminus\Lambda}$, условная вероятность увидеть конфигурацию$\sigma$внутри$\Lambda$, учитывая, что конфигурация снаружи$\Lambda$дан кем-то$\eta$, задается мерой Гиббса конечного объема в$\Lambda$с граничным условием$\eta$. Последний корректно определен (посредством обычного больцмановского веса), поскольку$\Lambda$конечно.

Для моделей с компактными спинами (таких как модель Изинга или модель Гейзенберга) гарантируется существование мер Гиббса бесконечного объема. Однако уникальность в общем случае не имеет места. Для модели Изинга на$\mathbb{Z}^2$, например, существует критическое значение$\beta_{\rm c}\in(0,\infty)$обратной температуры так, что существует единственная мера бесконечного объема, когда$\beta\leq \beta_{\rm c}$, в то время как существует бесконечно много мер Гиббса бесконечного объема, когда$\beta>\beta_{\rm c}$. Оказывается, любая мера Гиббса бесконечного объема$\mu$может быть выражена как выпуклая комбинация двух из них:$\mu = \alpha \mu^+_\beta + (1-\alpha)\mu^-_\beta$, для некоторых$0\leq\alpha\leq 1$. Эти две меры$\mu^+_\beta$и$\mu^-_\beta$таким образом, содержат всю соответствующую физику, и есть веские причины считать их действительно физически релевантными. Получается, что средняя намагниченность при$\mu^+_\beta$равно$m^*(\beta)>0$, спонтанная намагниченность (это значение намагниченности, которое вы получили бы, если бы вы сначала добавили магнитное поле$h>0$а потом пусть$h$уменьшить до$0$). Под$\mu^-_\beta$, с другой стороны, средняя намагниченность$-m^*(\beta)<0$. Именно в этом смысле имеет место спонтанное нарушение симметрии, даже несмотря на то, что описанная выше процедура не нарушает явно симметрию ни на одном шаге.

Позвольте мне теперь кратко связать описанный выше подход (все еще для модели Изинга на$\mathbb{Z}^2$) с использованием явного нарушения симметрии. Стандартный способ действий в этом случае - рассмотреть возрастающую последовательность конечных подмножеств$\Lambda_n\subset\mathbb{Z}^2$. Затем рассмотрим меру Гиббса$\mu^+_{\Lambda_n;\beta}$связаны с моделью Изинга в$\Lambda_n$, с$+$граничное условие. Затем можно рассмотреть (слабый) предел вероятностных мер$\mu^+_{\Lambda_N;\beta}$как$\Lambda_n$растет, чтобы покрыть$\mathbb{Z}^2$. Оказывается, предельная мера совпадает с мерой Гиббса бесконечного объема$\mu_\beta^+$полученное выше. Конечно, восстанавливается мера$\mu^-_\beta$используя последовательность с$-$граничное условие.

Таким образом, два подхода дают один и тот же результат, но я настаиваю на том, что первый не требует явного нарушения симметрии. (Более того, он обеспечивает гораздо более мощную структуру.)

Три комментария:

1. Это правда, что в какой-то момент вам понадобится крошечное поле, нарушающее симметрию. Но ему не обязательно действовать на все сайты единообразно — даже поля, действующего на один сайт, достаточно, чтобы нарушить симметрию. На самом деле нельзя ожидать, что вы сможете отслеживать эти крошечные поля в реальной системе. Так что с философской точки зрения, я полагаю, вы могли бы сказать, что «нарушение симметрии» не происходит в реальной жизни, потому что симметрия никогда не бывает точной, но суть в том, что система нестабильна из-за крошечных асимметрий, которые вы не можете реально отследить.

2. Вы предполагаете, что гамильтониан не меняется во времени. Но смысл SSB в том, что даже кратковременного поля, нарушающего симметрию, достаточно, чтобы навсегда нарушить симметрию. Как только система попадает в конфигурацию, нарушающую симметрию, она «застревает» и не может «вылезти» обратно в симметричную конфигурацию.

3. Это правда, что ансамбль Гиббса всегда симметричен. Но суть SSB в том, что в фазе с нарушением симметрии система описывается не ансамблем Гиббса, а только асимметричным подмножеством ансамбля. Таким образом, вы оказываетесь только в одном из основных состояний, а не в одинаково взвешенной смеси их всех. Это называется «нарушение эргодичности».

В книге (Altland and Simons, 2010; стр. 258) (или стр. 263 в издании 2006 г.) говорится следующее (дословная цитата из издания 2006 г.):

Несмотря на неоспоримое существование твердых тел, магнетиков и бозе-конденсатов определенной фазы, представление об основном состоянии, не разделяющем полной симметрии теории, может показаться парадоксальным или, по крайней мере, «неестественным». Например, даже если какое-либо конкретное основное состояние потенциала «мексиканской шляпы», показанное на рисунке выше, «нарушает» вращательную симметрию, не должны ли все эти состояния входить в сумму разбиения с одинаковым весом, так что чистый результат теории опять симметрично?

Затем в книге обсуждается, как поля, нарушающие симметрию, вызывают нарушение симметрии как наблюдаемое явление. Таким образом, из этого обсуждения я вынес следующие две вещи:

• Спонтанное нарушение симметрии относится к основным состояниям$\left| GS_n \right>$не обладающий той же симметрией, что и динамика.
• Причина, по которой мы наблюдаем спонтанное нарушение симметрии, связана с несовершенствами.